Geometria euclidiana en el espacio

Geometría plana afín finita

Sean [pic] y [pic] conjuntos no vacíos e [pic] una relación.
Los elementos [pic] serán llamados puntos y serán rotulados con letra minúscula manuscrita. Los elementos [pic] serán llamados rectas y serán rotulados con letras mayúsculas imprenta.
La relación [pic]será llamada relación de incidencia de manera que si [pic], entonces diremos que el punto [pic]incide en la recta [pic] o que la recta [pic] pasa por el punto [pic].
Se denotara familia como conjuntos de punto y rectas con letras α para la familia de untos y β familia de rectas

Notación: [pic] [pic] [pic] y [pic] ł [pic]
Un modelo de una geometría es un objeto matemático no vacío que se puede probar el conjunto de axiomas (3 axiomas) que caracteriza a nuestra geometría.

Axioma. 1:Por dos puntos pasa una única recta.

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] ł [pic] [pic] [pic] ł [pic]

Axioma. 2: En cada recta inciden al menos tres puntos.

Si [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] es recta.

Para presentar el axioma 3 debemos conocer “las rectas paralelas” y se definen de la siguiente forma:

(A = B) [pic]([pic]a є[pic]: a [pic] A [pic] a [pic] B)
Anotaremos a las rectas paralelas como A//B

Axioma. 3: Por un punto [pic] que no incide en una recta [pic] pasa una única recta [pic] tal que [pic].

Con esto procederemos a construir un modelo que satisfaga estos axiomas:

Sea Ж = {1,2,3,4} [pic] n z

Ю = Ж x Ж

£ = { [pic][pic][pic] / # ([pic]) = 4}

Puntos y rectas:
Sea:
a =(1,1) ; e = (1,2) ; i = (1,3) ; m = (1,4)
b = (2,1) ; f = (2,2) ; j = (2,3) ; n = (2,4)
c = (3,1) ; g = (3,2) ; k = (3,3) ; o = (3,4)
d = (4,1) ; h = (4,2) ; l = (4,3) ; p = (4,4)

[pic]
Ahora se procederá a probar los puntos y rectas de nuestro sistema junto con los axiomas:
Rectas verticales:

Sea: A = {(1 , y) / y є Ж }
B = {(2 , y) / y є Ж }
C = {(3 , y) / y є Ж }
D ={(4 , y) / y є Ж }

[pic]

Axioma1: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] ł [pic] [pic] [pic] ł [pic]

Ahora probaremos el valor de verdad el axioma 1 para el punto “a” y los otros 15 puntos del sistema:

1. a , b: a [pic] A [pic] b [pic] A [pic] a ł B [pic] b ł B
V Λ F [pic] V v F
F [pic] VV
a y b no pertenecen a la misma recta.

2. a , c: a [pic] A [pic] c [pic] A [pic] a ł B [pic] c ł B
V Λ F [pic] V v V
F [pic] V
V
a y c no pertenecen a la misma recta.

3. a , d: a [pic] A [pic] d [pic] A [pic] a ł B [pic] d ł B
V Λ F [pic]V v V
F [pic] V
V
a y d no pertenecen a la misma recta

4. a , e: a [pic] A [pic] e [pic] A [pic] a ł B [pic] e ł B
V Λ V [pic] V v V
V [pic] V
V
a y e pertenecen a la misma recta vertical “A” y no inciden en B

5. a , f: a[pic] A [pic] f [pic] A [pic] a ł B [pic] f ł B
V Λ F [pic] V v F
F [pic] V
V
a y f no pertenecen a la misma recta

6. a , g: a [pic] A [pic] g [pic] A [pic] a ł B [pic] g ł B
V Λ F [pic] V v V
F [pic] V
Va y g no pertenecen a la misma recta

7. a , h: a [pic] A [pic] h [pic] A [pic] a ł B [pic] h ł B
V Λ F [pic] V v V
F [pic] V
V
a y h no pertenecen a la misma recta.

8. a , i: a [pic] A [pic] i [pic] A [pic] a ł B [pic] i ł B
V Λ V [pic] V v V...