Geometria

NOTAS DE GEOMETR´ DIFERENCIAL IA

Enrique ARTAL BARTOLO 13 de enero del 2000
Versi´n 0.3 o

Resumen. El objetivo de estas notas es dejar constancia escrita de las nociones que complementan lo que aparece en el libro Riemannian Geometry de do Carmo y que es la referencia b´sica de este curso. Estas notas pretenden ser interactivas y las a modificaciones se producir´n tanto por el a˜ adido denuevos t´picos como por la a n o mejora de los que ya aparecen.

§1.- Grupos de Lie Sea G una variedad diferenciable que adem´s es un grupo para una operaci´n ·. a o Denotemos e el elemento neutro e introduzcamos las aplicaciones µ : G × G → G, µ(x, y) := x · y, σ : G → G, σ(x) := x−1 y η : G × G → G, η(x, y) := x · y −1 . Definici´n 1.1. Diremos que G es un grupo de Lie si las aplicaciones µ y σson o diferenciables. Observemos que G es un grupo de Lie si y solo si η es diferenciable. Dado G un grupo de Lie y x ∈ G definimos las aplicaciones Lx : G → G, Lx (y) := x · y, −1 Rx : G → G, Rx (y) := y ·x. Ambas son difeomorfismos y Lx−1 = L−1 , Rx−1 = Rx . x Definici´n 1.2. Sean G, H grupos de Lie. Un homomorfismo (resp. isomorfismo) o de grupos de Lie es una aplicaci´n φ : G → H que esdiferenciable (resp. difeomoro fismo) y homomorfismo (resp. isomorfismo) de grupos. Dado G grupo de Lie y x ∈ G, el automorfismo interno Ix := Lx ◦Rx−1 = Rx−1 ◦Lx es un automorfismo de grupos de Lie. Ejemplo 1.3. El ejemplo m´s importante de grupo de Lie es GL(F ), donde F a es un R-espacio vectorial de dimensi´n finita. Si F = Rk , el grupo es GL(k, R). o Es f´cil ver que la elecci´n de una base ordenada de Fproduce un isomorfismo de a o grupos de Lie entre GL(F ) y GL(k, R) (si F es de dimensi´n k). o Notaci´n 1.4. Los elementos de Rk los veremos como vectores columna y las o matrices de GL(k, R) definen automorfismos de Rk por multiplicaci´n a izquierda. o
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§2.- Accionesdiferenciables Sea G un grupo de Lie y M una variedad diferenciable. Sea ψ : G × M → M una aplicaci´n diferenciable; denotemos ψ(x, p) = x · p. Supongamos que: o – ∀x, y ∈ G, ∀p ∈ M , x · (y · p) = (x · y) · p. – ∀p ∈ M , e · p = p. Definici´n 2.1. Diremos que ψ es una acci´n diferenciable si lo es como aplicaci´n. o o o En tal caso se dice que G act´a sobre M mediante ψ. u Dado x ∈ G, tenemos aplicaciones ψx: M → M , ψx (p) := x · p, que son difeo−1 morfismos y ψx·y = ψx ◦ψy , ψe = 1M , ψx−1 = ψx . Ejemplo 2.2. El ejemplo m´s importante de acci´n diferenciable viene dado por a o ψ : GL(F ) × F → F , ψ(g, v) := g(v), g ∈ GL(F ), v ∈ F , donde F es un espacio vectorial de dimensi´n finita. o Sea F es un R-espacio vectorial de dimensi´n k y sea ψ la acci´n anterior. o o Consideremos la acci´n ϕ : GL(k, R)× Rk → Rk definida mediante producto de o matrices donde los elementos de Rk los vemos como matrices columna. Fijemos una base ordenada de F que produce isomorfismos de F con Rk y de GL(F ) con GL(k, R). En esta situaci´n es f´cil ver que las dos acciones conmutan con los o a isomorfismos. Definici´n 2.3. Sea F un R-espacio vectorial de dimensi´n finita y sea G un grupo o o de Lie. Diremos que unaacci´n diferenciable ψ : G × F → F es lineal si ∀g ∈ G, o ∀u, v ∈ F , ∀t, s ∈ R se tiene g · (tu + sv) = t(g · u) + s(g · v). Observaci´n 2.4. Observemos que es lo mismo darse una acci´n lineal ψ de G sobre o o F que un homomorfismo de grupos de Lie Ψ : G → GL(F ). Dada ψ construimos Ψ como sigue: sea g ∈ G; para definir Ψ(g) : F → F imponemos Ψ(g)(v) = g · v, ∀v ∈ F . Dado Ψ construimos ψ como sigue:dados g ∈ G y v ∈ F definimos ψ(g, v) := Ψ(g)(v). A partir de ahora las acciones lineales se determinar´n a partir a del homomorfismo Ψ. Por la observaci´n anterior, vemos que una forma de construir nuevas acciones a o partir de una dada es, dados dos espacios vectoriales F1 , F2 , considerar homomorfismos de grupos de Lie GL(F1 ) → GL(F2 ). Ejemplo 2.5. Sea F un espacio vectorial de dimensi´n k....