Geometria

Cap´ıtulo 1
Superficies

1 Superficies de revolucio´ n

Definicio´ n 1.1. Supongamos el espacio tridimensional R 3 dotado del sistema

de coordenadas (x, y, z). Una superficie de revoluci o´ n en este espacio es una superficie generada al rotar una curva plana C alrededor de algu´ n eje que esta´
en el plano de la curva.

Un caso particular es cuando el eje de rotacio´ n es alguno delos ejes coordenados y
la curva C esta´ sobre alguno de los planos coordenados.

Ejemplo 1.1. Si el eje de rotacio´ n es el eje z y la curva plana C esta´ sobre el plano
xz con ecuacio´ n:
z = f (x) (1)

tal que f es una funcio´ n biyectiva definida solo para x ≥ 0, entonces la ecuacio´ n de
la superficie  de rotacio´ n tendra´ ecuacio´ n:



z = f ( x2 + y2) (2)

Paradeducir la ecuacio´ n anterior, tomemos dos puntos A y B sobre la superficie 
y un tercer punto M sobre el eje z. El punto A es un punto arbitrario de la superficie. Consideremos la circunferencia  que contiene al punto A, tiene centro en el punto
M y esta´ sobre el plano z = z1 . Esta circunferencia corta el plano xz en el punto
B. Por lo tanto las coordenadas de los puntos son: A(x, y, z 1 ),B(x, 0, z1 ), C(0, 0, z1 ). Pero el punto B pertenece a la generatriz C, por lo tanto sus coordenadas las podemos escribir como B( f −1 (z1 ), 0, z1 ). Ahora la distancia entre A y M es la misma que entre
B y M pues son dos radios de la circunferencia.

1

2
 
 A(x, y, z1 ) 
−1

 B( f

(z1 ), 0, z1 )  =⇒ |AM| = |BM| =⇒

M(0, 0, z1 )

x2 + y2 =[ f −1 (z )]2 =⇒ z



=f x2 + y2 (3)

1 1

Pero A es arbitrario, por lo tanto z 1 = z. Observemos que en la deduccio´ n de la
fo´ rmula anterior las variables x, y e z se colocan cuando esto se puede en te´rmino de
la variable fijada z1 , que es la que define el plano z = z1 donde esta´ la circunferencia
 .

Ejemplo 1.2. Si el eje de rotacio´ n es el eje x y la curva plana C esta´ sobre el plano
xz conecuacio´ n:
z = f (x) (4)

tal que f es una funcio´ n biyectiva definida solo para x ≥ 0, entonces la ecuacio´ n de
la superficie  de rotacio´ n tendra´ ecuacio´ n:



[ f (x)]2 = y2 + z2 (5)

Similarmente como en el ejemplo 1.1, tomamos el plano x = x 1, perpendicular al eje de rotacio´ n x, y tres puntos sobre este plano que pertenecen a la circunferencia
 con centro en M(x1 ,0, 0) y que contiene los puntos A(x 1, y, z) y B(x1 , 0, z). Dado
que B pertenece a la curva generatriz C, sus ordenadas son B(x 1 , 0, f (x1 )).

 
 A(x1 , y, z) 
 B(x1 , 0, f (x1 ))  =⇒ |AM| = |BM| =⇒
M(x1 , 0, 0)
y2 + z2 =[ f (x1 )]2 (6)

La hipo´ tesis que A es arbitrario, completa la demostracio´ n.
El CATENOIDE es una superficie de revolucio´ n obtenida al rotar sobre eleje x
la curva z = cosh x, y la ecuacio´ n que la representa es: y 2 + z2 = cosh2 x. Una para- metrizacio´ n usada para graficarla con el software Maple es: x = u, y = cosh u cos v,
z = cosh u sin v, con valores de los para´metros −2 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2 . Los ejes
coordenados esta´n colocados en forma esta´ndar. (Ver: C.9.3).

3

2.4

El CATENOIDE, superficie de revolucio´ n obteni- daal girar la curva catenaria z = cosh x, sobre el

0.4

-1.6

plano xz, alrededor del eje x. -3.6
-3.6

0.4 -2
0
2

Figura 1 Catenoide

Ejemplo 1.3. Encuentre la ecuacio´ n de la superficie al rotar la recta x = 3y alrededor del eje x.
SOLUCIO´ N.
Debido a la rotacio´ n sobre el eje x las trazas sobre el plano xy (intersecciones de la superficie que debemos hallar con el planoxy (z = 0)), deben ser el par de rectas
y = ±3x. Este par de ecuaciones se pueden escribir como una sola ecuacio´ n y 2 =

1 2


x . Lo cual es equivalente a decir
3

Trazas sobre el plano xy =⇒ y2 − 1 x
3

2
= 0 (7)


Esto mismo debe ocurrir sobre el plano xz. Por lo tanto,

Trazas sobre el plano xz =⇒ z2 − 1 x
3

2
= 0 (8)


Las trazas sobre los planos...