geometria

Geometr´ıa 2o de Bachillerato(Ciencias de la Naturaleza)
Vectores
−
−
−
Sean →
u = (u1 , u2 , u3 ), →
v = (v1 , v2 , v3 ) y →
w = (w1 , w2 , w3 )
u1 u2
v1 v2
w1 w2
caso contrario uno de los vectores es combinaci´on lineal
→
−
−
u ·→
v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Producto escalar:
→
−
→
−
−
−
u · v = |→
u ||→
u | cos α

→
−
−
−
u, →
v y→
w son linealmenteindependientes si

u3
v3 = 0. En
w3
de los otros.

i j k
→
−
u1 u2 u3 ; el vector t es
v1 v2 v3
−
−
−
−
−
−
perpendicular a los vectores →
u y→
v . Se cumple |→
u ×→
v | = |→
u ||→
v | sin α.
→
−
→
−
| u × v | = S donde S es el ´area del paralelogramo que describen los
1
−
−
vectores →
u y→
v por paralelelismo. (El ´area de un tri´angulo ser´a S)
2
→
−
−
−
Productovectorial: t = →
u ×→
v =

u1 u2 u3
v1 v2 v3 = V , donde V es el
w1 w2 w3
volumen del paralelep´ıpedo que determinan los tres vectores por paralelelismo. El volumen de un paralelep´ıpedo es tambi´en V = Sbase ·
Altura. Para calcular el volumen de un tetraedro tenemos dos f´ormulas: Vtetraedro = 61 Vparalelep´ipedo y Vtetraedro = 13 Sbase · Altura
−
−
−
Producto mixto: [→
u,→
v ,→
w] =Ecuaciones

→
−
ur = (u1 , u2 , u3 )
Pr (a, b, c)

Sea la recta r :
Vectorial
→
−
−
x = Pr + λ→
ur

Sea el plano π :

etrica
 Param´

x
=
a
+ λu1

y = b + λu

2

 z = c + λu
3

Continua

General

x−a
y−b
z−c
=
=
u1
u2
u3

No hay


→
−

 u = (u1 , u2 , u3 )

→
−

v = (v1 , v2 , v3 )

 P (a, b, c)

Vectorial
→
−
−
−
x = P+ λ→
u + µ→
v

Param´etrica


 x = a + λu1 + µv1

y = b + λu + µv

2
2

 z = c + λu + µv
3
3

1

Continua
No hay

General
u1 v1 x − a
u2 v2 y − b = 0
u3 v3 z − c
Ax + By + Cz + D = 0

Ideas:
Tres puntos P1 (a1 , b1 , c1 ), P2 (a2 , b2 , c2 ) y P3 (a3 , b3 , c3 ) no est´an alineaa1 b1 c1
dos si a2 b2 c2 = 0
a3 b3 c3
−
El vector →
ur y la recta r tienen lamisma direcci´on.
El vector −
u→
π = (A, B, C) y el plano π : Ax + By + Cz + D = 0 son
perpendiculares.
Posiciones de rectas y planos:
Dos rectas: r :

→
−
ur
,s:
Pr

→
−
us
−−→
y Pr Ps . Construimos la matriz A =
Ps

→
−
ur
 →

−
 us
.
−−→
Pr Ps
Si Rango(A) = 3 =⇒
 Se cruzan.
→
−

ur



−
 Rango →
us
Si Rango(A) = 2:
→
−

ur



−
Rango →
us
Si Rango(A) = 1 =⇒ Coinciden.




= 2 =⇒ Se cortan
.
= 1 =⇒ Son paralelas

→
−
ur
y un plano π : Ax + By + Cz + D = 0: Se pasa
Pr
la recta a param´etricas y se sustituye en el plano: A(a + λu1 ) + B(b +
λu2 ) + C(c + λu3 ) + D = 0 Al resolver esta ecuaci´on pueden ocurrir
tres casos:

De una recta r :

1. Encuentro un valor de λ = k =⇒ se cortan. El punto decorte se
encuentra sustituyendo el valor de λ en la ecuaci´on param´etrica
de la recta.
2. Encuentro infinitos valores de λ =⇒ la recta se encuentra contenida en el plano. (La soluci´on de la ecuaci´on queda de la forma
0 = 0)
3. No existen valores de λ =⇒ la recta es paralela al plano. (La
soluci´
on de la ecuaci´on queda de la forma 7 = 0)
De dos planos π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 y π2 : A2x + B2 y + C2 z + D2 .
Puede ocurrir:
1.

A1
B 1 A1
C1 B 1
C1
=
o
=
o
=
en cualquiera de ellos los dos
A2
B 2 A2
C2 B 2
C2
planos se cortan en una recta.
2

B1
C1
D1
A1
=
=
=
en este caso son paralelos.
A2
B2
C2
D2
A1
B1
C1
D1
3.
=
=
=
en este caso coinciden.
A2
B2
C2
D2
2.

De tres planos π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 , π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2y π3 : A3 x + B3 y + C3 z + D3 . Se trata de un sistema de tres ecuaciones
con tres inc´
ognitas y se discute por el teorema de Roch´e. Si el sistema
tiene solunci´
on u
´nica los tres planos se cortan en un punto. En el caso
de que tenga infinitas soluciones se analizan los planos dos a dos. En
el caso de que no tenga soluciones se analizan los planos dos a dos.
F´
ormulas:
−−→...