Geometria

1)-LA RECTA EN EL ESPACIO :ECUACION PARAMETRICA Y SIMETRICA
Ecuación vectorial de la recta
Sea P(x1, y1) es un punto de la recta r y vector u su vector director, el vector vector director tiene igual dirección que vector u, luego es igual a vector u multiplicado por un escalar:





Ecuaciones paramétricas de la recta
Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Estaigualdad se verifica si:

Ecuaciones continuas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.
Ejemplos
1-Hallar lasecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es vector.






2-Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).





3-Sea r la recta de ecuación:
¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?



2)-posicionesrelativas:rectas paralelas, rectas que se cruzan, identificaciones algebraicas de diversos casos, angulos entre rectas
Dadas dos rectas, Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, para calcular su posición relativa tendremos en cuenta que:
A)- si , las rectas son secantes, se cortan en un punto.


B)- Si , las rectas paralelas, no se cortan en ningún punto.



C)- Si , las rectas son coincidentes, todos suspuntos son comunes.



Ejemplos
1- Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:



2- ¿Son secantes las rectas r ≡ x +y -2 = 0 y s ≡ x - 2 y + 4 = 0? En caso afirmativo calcular el punto de corte.



Ángulos entre rectas
Dos rectas secantes r y s determinan cuatro ángulos iguales dos a dos; esto se debe a que son ángulos opuestos por el vértice. El más pequeñode los ángulos α y β se define como el ángulo entre las rectas r y s.

En el caso del dibujo el ángulo entre las rectas r y s sería rxˆ=b.
Una forma de determinar dicho ángulo es a partir del producto escalar de los vectores directores de las rectas r y s. Sean u→ y v→ vectores directores de las rectas r y s respectivamente.
El producto escalar de losvectores u→ y v→ es:
u→⋅v→=|u→||v→|cos(u→,v→)ˆ
Ahora, fijémonos que tomando un vector director de r y uno de s, el ángulo formado por dichos vectores coincide con el ángulo entre las dos rectas, si es agudo, o bien con su suplementario si es obtuso:

Por tanto, el coseno del ángulo entre las dos rectas coincidirá, exceptuando el signo, con el del ángulo que forman sus vectores directores, y por tantotenemos que:
cos(r,s)ˆ=|cos(u→,v→)ˆ|
Este último paso se debe a que
cos(a)=−cos(180−a)
Así, si aislamos en la formula del producto escalar,
cos(r,s)ˆ=|cos(u→,v→)ˆ|=|u→⋅v→||u→||v→|
Nota: El producto escalar entre dos vectores u→=(u1,u2) y v→=(v1,v2) se define cómo
u→⋅v→=u1⋅v1+u2⋅v2
Por tanto, si recordamos que la expresión del módulo de un vector es
|v→|=v21+v22−−−−−−√
Tenemos que en coordenadas laexpresión del coseno del ángulo entre dos rectas es:
cos(r,s)ˆ=|cos(u→,v→)ˆ|=|u→⋅v→||u→||v→|=|u1⋅v1+u2⋅v2|u21+u22−−−−−−√v21+v22−−−−−−√
Ejemplo

Determina el ángulo formado por las rectas r y s, cuyas ecuaciones son, respectivamente, 3x−2y−1=0 y −x+2y−3=0.
Sean u→=(2,3) y v→=(2,1) vectores directores de las rectas r y s respectivamente.
Entonces, aplicando la fórmula anterior tenemoscos(r,s)ˆ=|cos(u→,v→)ˆ|=|u→⋅v→||u→||v→|=|u1⋅v1+u2⋅v2|u21+u22−−−−−−√v21+v22−−−−−−√=
=|2⋅2+3⋅1|22+32−−−−−−√22+12−−−−−−√=765−−√
Por tanto, si cogemos la calculadora tenemos que
rsˆ=arccos(cos(rsˆ))=arccos(765−−√)=29.7∘

3)-el plano en el espacio, producto vectorial.propiedades, triple producto escalar. ecuaciones parametricas, vectorial y normal del plano
Plano en el Espacio
Es costumbre nombrar a los planos con...