GeometriaAnalitica

´
INSTITUTO POLITECNICO
NACIONAL
Escuela Superior de Ingenier´ıa Mec´
anica y El´
ectrica
Curso para Aspirantes al Nivel Superior
Profesor: Antonio Tavares Mancillas

1.

Recta

La recta es un conjunto de puntos alineados en una direcci´
on,
ver figura.

La ecuaci´
on de la recta tiene la forma y = mx + b, donde: m es
la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (la recta pasa
∆y
, as´ı∆ x
por el punto (0, b)). La pendiente m se define como: m = ∆
x
es siempre positivo, es decir, ∆ x > 0; y ∆ y puede tomar cualquier
valor, hasta el cero.
Ejemplos:
1. Si m = 2,

∆y
∆x

= 21 , por lo que ∆ y = 2 y ∆ x = 1

2. Si m = − 21 ,

∆y
∆x

= − 12 , por lo que ∆ y = −1 y ∆ x = 2

3. Si m = − 34 ,

∆y
∆x

= − 34 , por lo que ∆ y = −3 y ∆ x = 4

Como m, mide la pendiente, es decir, lainclinaci´
on de la recta;
m = 2, nos dice que: por cada paso en X, o sea, ∆ x = 1 (avanza 1 );
sube dos pasos en Y , (sube 2 ) es decir, ∆ y = 2, veamos la figura.
1

En la figura, se observa como desde un punto cualquiera, en
este caso (1, 1), se anotan los incrementos (∆ x y ∆ y), y da como
resultado una inclinaci´
on, a eso le llamamos pendiente.
Veamos otro ejemplo, ahora m = − 43 , nos dice que: porcada 3
pasos en X, o sea, ∆ x = 3 (avanza 3 ); baja cuatro pasos en Y , (baja
4 ) es decir, ∆ y = −4.

En la figura, se observa como desde un punto cualquiera, en este
caso (0, 0), se anotan los incrementos (∆ x y ∆ y), y se registra la
pendiente, ahora negativa.

2

1.1.

Ejemplos

1. Determina la gr´
afica de la recta y = 3 − 45 x
Se observa que m = − 45 y b = 3, por lo que la recta pasa por
elpunto (0, 3); la pendiente nos dice que: desde el punto (0, 3)
avanza 5, es decir, ∆ x = 5; y baja 4, o sea, ∆ y = −4, entonces
la recta queda como lo muestra la figura.

2. Encuentra la ecuaci´
on de la recta que pasa por los puntos (0, 1)
y (5, 0).
En este caso, primero ubicamos los puntos en el plano cartesiano, y reconocemos que por el punto (0, 1), b = 1. Para
identificar la pendiente nosubicamos en el punto 1 y contamos cuantos pasos hay en x (∆ x) y cuantos pasos hay en y
(∆ y), para llegar al punto 2. Con lo cual resulta que m = − 15 ,
as´ı la ecuaci´
on de la recta solicitada es y = − 15 x + 1, ver figura.

3

3. Determina la ecuaci´
on de la recta que pasa por los puntos
(−2, 0) y (1, 4).
Al ver la figura siguiente, notamos que la pendiente es m = 43 ,
pero no se puede sabercon exactitud cuanto vale b, por lo
que el problema se resuelve usando la segunda ecuaci´
on de la
recta, a saber:
y − y0 =

y1 − y0
(x − x0 )
x1 − x0

,
Como (x0 , y0 ) = (−2, 0), y (x1 , y1 ) = (1, 4), s´
olo sustituimos en la
ecuaci´
on, y queda:
y − (0) =

(4) − (0)
(x − (−2))
(1) − (−2)

,
Simplificando, queda:
y=

4
8
x+
3
3

.
De lo anterior, reconocemos a la pendiente, valor que ya teniamospresente, pero b, es un valor fraccionario y por eso no
se podia saber a partir de la gr´
afica.
4

1.2.

Ejercicios

1. Calcula la ecuaci´
on que pasa por los siguientes pares de puntos.
(a) (2, −1), (−2, 1)

(b) (−2, 4), (1, −1)
(d) (1, −3), (−3, 1)

(c) (−1, 0), (4, 3)
(a) (−3, −1), (2, 4)

(b) (−1, 1), (3, −1)

(c) (0, −2), (2, 5)

(d) (2, 1), (−3, −3)

2. De las siguientes graficas,encuentra la ecuaci´
on de la recta
que pasa por los dos puntos ilustrados,

5

3. Determina las ecuaciones de las rectas: a, b, c, d, e, mostradas
en la figura.

2.

Par´
abola

Una par´
abola es una construcci´
on geom´
etrica cuadr´
atica de la
forma general:
y − k = (x − h)2

o
´ x − h = (y − k)2 ,
6

con vertice en (h, k). Las ecuaciones anteriores corresponden a una
par´
abola vertical y unahorizontal respectivamente.

Veamos algunos ejemplos cuando cambia el v´
ertice.

Observaciones de las gr´
aficas:
(a) y − 1 = (x − 1)2 , los t´
erminos y − 1, y x − 1, nos dice que la
par´
abola se movio de su v´
ertice: (0, 0) a (1, 1)
(b) y − 1 = (x + 1)2 , los t´
erminos y − 1, y x + 1, nos dice que la
par´
abola se movio de su v´
ertice: (0, 0) a (1, −1)
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(c) y + 1 = (x − 1)2 , los t´...