Ghgh

C u r s o : Matemática
Material N° 21
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 17
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES
DESIGUALDADES

Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b,
Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades:
PROPIEDAD 1

a < b,

a≥b

o

a ≤ b.

Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número,
el sentidode la desigualdad no cambia.
Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c

PROPIEDAD 2

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo
número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia.
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc

PROPIEDAD 3

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo
númeronegativo, el sentido de la desigualdad cambia.
Si a, b, c son números reales tales que a < b y c < 0, entonces ac > bc

EJEMPLOS

1.

Si a, b y c son número reales, con b > c > a
desigualdades es falsa?
A)
B)
C)
D)
E)

2.

y

c ≠ 0, ¿cuál(es) de las siguientes

c+aa–c
c2 · a < c2 · b
c3 > a · c2
(a - c) · b > (a – c) · c

Si 0 < x < 1, entonces ¿cuál(es) de lassiguientes desigualdades es(son) verdadera(s)?
I)
A)
B)
C)
D)
E)

2 – x2 < 2 + x2

Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III

II)

3 – x2 < 3 – x

III)

1 + x2 < (1 + x) 2

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0,
ax + b > 0 o ax + b < 0, y que son verdaderas para unconjunto de valores de la incógnita x, el
cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar mediante
la notación de conjunto, intervalo o gráfica.
EJEMPLOS

1.

El conjunto solución de la inecuación -2 · (3 – 4x) ≥ 10x es

A)
B)
C)
D)
E)

2.

x ≤ -3}
x ≥ -3}

⎧
1⎫
⎨x ∈ lR / x ≥ - ⎬
3⎭
⎩
⎧
1⎫
⎨x ∈ lR / x ≤ - ⎬
3⎭
⎩
⎧
1⎫
⎨x ∈ lR / x ≤ ⎬3⎭
⎩

El conjunto solución de la inecuación
A)
B)
C)
D)
E)

3.

{x ∈ lR /
{x ∈ lR /

3−x
2

2+x
es
3

]1 + ∞[
]-∞, 1]
[1, + ∞[
[-1, + ∞[
]-∞, -1]

El conjunto solución de la inecuación A)
B)
C)
D)
E)

≤

x
x
x
es
>8−
−
3
2
6

]-12, + ∞[
]-∞, -12[
]-∞, -8[
]-8, + ∞[
]-∞, -12]

2

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Es unsistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita.
El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si
S1, S2, ..., Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del
sistema, entonces:
S = S1 ∩ S2 ∩ S3 ... ∩ Sn

EJEMPLOS

1.

El conjunto solución del sistema de inecuaciones

A)
B)
C)

{{

}
}

{x ∈ lR / x > 4}

{

E)

∅

x ∈ lR / x ≤

1
2

}

El conjunto solución del sistema de inecuaciones
A)
B)
C)
D)
E)

3.

es

1
≤x 3
1−x≤

[2, + ∞[
]-∞, 2]
[-2, 2]
{2}
∅

Al resolver el sistema -2 ≤
A)
B)
C)
D)
E)

3x + 1 ≥ 7
es
5x − 2 ≤ 8

1−x
+ 3 ≤ 2 se obtiene como conjunto solución
2

[1, 9]
]-∞, 3]
[3, 11]
[11, + ∞[
∅

3PROBLEMAS DE INECUACIONES

En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos >, ), “no alcanza” ( -14
0>- 9
-32 < -23
(-4)2 ≥ (-2)4
3
5
- >4
7

a>b
a2 > b2
b>a
ab < 0
4b < 2a

Si a y b son números reales tales que a > 0
expresiones sería(n) un número negativo?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)

4.

y

b < 0, ¿cuál(es) de las siguientes

ab
a2bab2

Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
Ninguna de las anteriores

Si x e y son números reales positivos con x > y, cuál(es) de las siguientes desigualdades
es(son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)

1
1
>
x
y
-x < -y
x–y>0

Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
5

5.

La inecuación 3 – 2x £ -7 tiene como...