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Páginas: 6 (1468 palabras)
Publicado: 10 de junio de 2014
Universidad Simón Bolívar
Preparaduría de Matemáticas II (MA1112)
Preparador: Ricardo Fernández T. ( RicharOrange@hotmail.com )
GUÍA TEÓRICO-PRÁCTICA Nº 2: SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Contenidos: Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución empleando integrales.
Método de discos. Método de coronas circulares. Método de envolventes cilíndricas.
El cuerno de Gabriel: Introducción a lasIntegrales Impropias.
INTRODUCCIÓN
Un sólido de revolución es una figura sólida obtenida como producto de la rotación de una
región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una
superficie de revolución es la superficie exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra
una porción del espacio dentro de sí.
En términos más formales, si tenemos dos funcionescuya gráfica está en el plano
, obtendremos lo que se denomina un sólido de revolución al rotar la gráfica de la región
plana encerrada por dichas funciones alrededor de una recta dada
(por lo general paralela a uno
de los ejes del plano cartesiano). Por ejemplo, consideremos la figura tridimensional obtenida al
rotar una circunferencia cuyo centro no sea el origen alrededor decualquiera de los ejes
coordenados, obtendremos un sólido de revolución conocido como Toro (ver figura 1).
Empleando el cálculo integral es posible calcular el
volumen de superficies de este tipo. Sabemos que la
integral es una suma continua con infinitos
sumandos, y a través de la definición de Riemann
entendemos que se trabaja siempre con elementos
de tamaño infinitesimal (los diferenciales,el
que
aparece en el símbolo de integración). Esta guía
tiene como objetivo mostrar al lector las aplicaciones
de la integral definida para el cálculo de áreas y
volúmenes de superficies y sólidos de revolución.
Figura 1: Representación gráfica de un toro.
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MÉTODO DE DISCOS
Al ir de compras al supermercado, todos hemos pedido alguna vez que nos entreguen algúnproducto rebanado. Por ejemplo, si consideramos un cono, entonces sabemos que podemos
“rebanarlo” en pequeñas porciones circulares. Al colocarlas todas juntas obtendremos el volumen
del cono original. Llevado al cálculo integral, haremos que cada “rebanada” tenga un grosor
infinitesimal.
El método de discos se basa en este mismo principio, consideramos una sección de altura
infinitesimal y con unárea equivalente al de una circunferencia con radio
definido como la
distancia entre la función y el eje de rotación.
¿Qué volumen tiene una moneda? Veamos, si tiene área igual a
volumen es
y espesor
entonces su
(área de la base por altura).
Así, el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región plana delimitada por la curva
y el eje
alrededor de una recta deecuación
(paralela al eje horizontal) viene dado por
la expresión:
∫ [
]
La siguiente figura ilustra la idea:
Figura 2: Ejemplo de aplicación del método de discos a la rotación de una recta alrededor del eje
Este método sólo es aplicable cuando el sólido de revolución no tiene “huecos” interiores, es decir,
cuando el eje de rotación está en el borde de la región.
Página 2 de 7 Si en vez de rotar alrededor del eje horizontal lo hacemos alrededor de una recta paralela al eje
vertical con ecuación
, será necesario expresar
tendremos que
en función de
, es decir, si la gráfica es
, de donde:
∫ [
]
Si la función no es invertible en el intervalo dado se puede escoger una porción y calcular la
integral en el intervalo biyectivo, y luego sumar laintegral de la otra parte, ya que los volúmenes
son invariantes ante la suma.
Hagamos un ejemplo: calculemos el volumen del sólido mostrado en la figura 2, sabiendo que
⁄
[
] alrededor del eje .
Tenemos que:
∫ (
)
∫
(
|
MÉTODO DE CORONAS CIRCULARES
Cuando el eje de rotación NO está en la región plana entonces no podemos considerar discos.
Consideremos ahora el área...
Preparaduría de Matemáticas II (MA1112)
Preparador: Ricardo Fernández T. ( RicharOrange@hotmail.com )
GUÍA TEÓRICO-PRÁCTICA Nº 2: SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Contenidos: Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución empleando integrales.
Método de discos. Método de coronas circulares. Método de envolventes cilíndricas.
El cuerno de Gabriel: Introducción a lasIntegrales Impropias.
INTRODUCCIÓN
Un sólido de revolución es una figura sólida obtenida como producto de la rotación de una
región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una
superficie de revolución es la superficie exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra
una porción del espacio dentro de sí.
En términos más formales, si tenemos dos funcionescuya gráfica está en el plano
, obtendremos lo que se denomina un sólido de revolución al rotar la gráfica de la región
plana encerrada por dichas funciones alrededor de una recta dada
(por lo general paralela a uno
de los ejes del plano cartesiano). Por ejemplo, consideremos la figura tridimensional obtenida al
rotar una circunferencia cuyo centro no sea el origen alrededor decualquiera de los ejes
coordenados, obtendremos un sólido de revolución conocido como Toro (ver figura 1).
Empleando el cálculo integral es posible calcular el
volumen de superficies de este tipo. Sabemos que la
integral es una suma continua con infinitos
sumandos, y a través de la definición de Riemann
entendemos que se trabaja siempre con elementos
de tamaño infinitesimal (los diferenciales,el
que
aparece en el símbolo de integración). Esta guía
tiene como objetivo mostrar al lector las aplicaciones
de la integral definida para el cálculo de áreas y
volúmenes de superficies y sólidos de revolución.
Figura 1: Representación gráfica de un toro.
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MÉTODO DE DISCOS
Al ir de compras al supermercado, todos hemos pedido alguna vez que nos entreguen algúnproducto rebanado. Por ejemplo, si consideramos un cono, entonces sabemos que podemos
“rebanarlo” en pequeñas porciones circulares. Al colocarlas todas juntas obtendremos el volumen
del cono original. Llevado al cálculo integral, haremos que cada “rebanada” tenga un grosor
infinitesimal.
El método de discos se basa en este mismo principio, consideramos una sección de altura
infinitesimal y con unárea equivalente al de una circunferencia con radio
definido como la
distancia entre la función y el eje de rotación.
¿Qué volumen tiene una moneda? Veamos, si tiene área igual a
volumen es
y espesor
entonces su
(área de la base por altura).
Así, el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región plana delimitada por la curva
y el eje
alrededor de una recta deecuación
(paralela al eje horizontal) viene dado por
la expresión:
∫ [
]
La siguiente figura ilustra la idea:
Figura 2: Ejemplo de aplicación del método de discos a la rotación de una recta alrededor del eje
Este método sólo es aplicable cuando el sólido de revolución no tiene “huecos” interiores, es decir,
cuando el eje de rotación está en el borde de la región.
Página 2 de 7 Si en vez de rotar alrededor del eje horizontal lo hacemos alrededor de una recta paralela al eje
vertical con ecuación
, será necesario expresar
tendremos que
en función de
, es decir, si la gráfica es
, de donde:
∫ [
]
Si la función no es invertible en el intervalo dado se puede escoger una porción y calcular la
integral en el intervalo biyectivo, y luego sumar laintegral de la otra parte, ya que los volúmenes
son invariantes ante la suma.
Hagamos un ejemplo: calculemos el volumen del sólido mostrado en la figura 2, sabiendo que
⁄
[
] alrededor del eje .
Tenemos que:
∫ (
)
∫
(
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MÉTODO DE CORONAS CIRCULARES
Cuando el eje de rotación NO está en la región plana entonces no podemos considerar discos.
Consideremos ahora el área...
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