Gregorio

Ejercicio 1 para el sistema mostrado en la figura traze el lugar de las raíces determine el rasngo de valores de la ganancia K para mantener estable el sistema.

RESOLUCIÓN:


1. Sedetermina la ecuación característica, a partir de la siguiente ecuación. | | |
2. Enseguida se obtienen los polos y ceros de lazo abierto.Para ello, primeramente se hace la función detransferencia de lazo abierto () igual a cero, es decir.Luego se obtienen los ceros de lazo abierto igualando el numerador de con cero.Inmediatamente se obtienen los polos de lazo abierto igualando eldenominador de con cero. | | |
3. A continuación se determina la condición de ángulo y de magnitud.Para la condición de ángulo se parte de: | | |
| | | (1) |
La condición de magnitudse obtiene de: | | |
| | | (2) |
4. Ahora se traza el lugar de las raíces sobre el eje real.Primeramente se ubican los polos y ceros de lazo abierto en el plano complejo.Recuerde quepara este sistema se tienen cuatro polos y un cero | | |
a. Se analiza el primer intervalo de [0, -1].La condición de angulo se cumple para k = 0 por tanto el intervalo de [0,-1] ∈pertenece al RL sobre el eje real. | | |
b. Se analiza el segundo intervalo de [-1, -2].No se cumple la condición de angulo para l valor de k por lo tanto el intervalo [-1,-2] no perteneceal RL.| | |
| | |
c. Finalmente se analiza el último intervalo de [-2, -].Se ubica un punto de prueba y se cumple la condición.Por tanto el intervalo al R.L., sobre el eje real. | | |Una vez realizado el análisis anterior el diagrama del lugar de las raíces toma la forma siguiente. | | |
5. A continuación se determinan los ángulos y el patrón de las asíntotas.Para ellose utiliza la fórmula siguiente.Se determina la cota máxima de i:Por tanto los valores que toma i son:Nota: Esto nos indica que el lugar de las raíces tendrá tres ramas. | | |
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