Grupo Abeliano (Algebra)

Grupo Abeliano.
La estructura algebraica (G, *) es llamada Grupo Abeliano, si y sólo si,
1. * es Asociativa
* es asociativa ⇔ ∀ x, y, z ∈ G, x * (y * z) = (x * y) * z
2. (G, *) tiene un elemento identidad.
e es el elemento identidad con respecto a * ⇔ ∀ x ∈ S, x * e = e * x = x

3. cada elemeto de G es invertible.
∀ x ∈ G es invertible ⇔ ∃ y ∈ G: x * y = y * x = e
4. * esConmutativa
* es conmutativa ⇔ ∀ x, y ∈ G, x * y = y * x
Teorema :Si (G, *) es un Grupo y a, b, x ∈ G, entonces ax = b, si sólo si,
x = a–1 b y xa = b, si y sólo si x = ba–1.
Teorema :(G, *) es un Grupo y a, b, c ∈ G, si ab = ac o ba = ca, entonces b = c.
Llamada Ley de Cancelación.
Teorema:
(G, *) es un Grupo finito y a ∈ G, entonces a n = 1 para algún n ∈ G.
AnilloDefinicion. Un anillo es una terna A = (A, +, .) donde A es un conjunto , y “ +” y “ .” son operaciones en A, denominadas adicion y multiplicacion, respectivamente, tales que:
1. la adici´on es asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c), para todo a, b, c ∈ A ;
2. la adici´on es conmutativa:
a + b = b + a, para todo a, b ∈ A ;
3. existe un elemento, denotado 0, en A tal que
a + 0 = a = 0 + a, para todo a∈ A ;
4. para cada a ∈ A existe un elemento, denotado −a, en A tal que
a + (−a) = 0 = (−a) + a ;
5. la multiplicaci´on es asociativa:
(a.b).c = a.(b.c), para todo a, b, c ∈ A ;
6. existe un elemento, denotado 1, en A tal que
a.1 = a = 1.a, para todo a ∈ A ;
7. la multiplicaci´on es distributiva, a los dos lados, respecto de la adici´on:
a.(b + c) = (a.b) + (a.c) y (a + b).c = (a.c) +(b.c), para todo a, b, c ∈ A .

Campo.
F es un conjunto y + y • son operaciones binarias sobre F. Entonces
la estructura algebraica (F, +, •) es llamada campo, si y sólo si,
1. ∀ x, y, z ∈ F, x + (y + z) = (x + y) + z →Asociativa con respecto a +
2. ∀ x, y ∈ F, x + y = y + x →Conmutativa con respecto a +
3. ∃ 0 ∈ F, x + 0 = x→Identidad con respecto a +
4. ∀ x ∈ F, ∃ -x ∈ F, x + (-x) = 0 → inverso con respecto a +
5. ∀ x, y, z ∈ F, x • (y • z) = (x • y) • z →Asociativa con respecto a •
6. ∀ x, y ∈ F, x • y = y • x →Conmutativa con respecto a •
7. ∃ 1 ∈ F, x • 1 = x →Identidad con respecto a •
8. ∀x ∈ F–{0}, ∃ x-1∈ F–{0}, x• x-1 = 1 →inverso con respecto a •
9. ∀ x, y, z ∈ F, x • (y + z) = x•y + x•z →Distributiva con respecto a +
10. 0 ≠ 1.
(R, +, •) el conjunto de los números reales y las operaciones de la suma y la
multiplicación son un ejemplo de Campo.
_ __ _
Sea x y y son elemento de Z3, y la suma y el producto de x y y son definidas
por: _ _ ___ _ _ __
x + y = x + y x • y = xy Las tablas de las operaciones de la adición y la multiplicación en (Z3, +, •) son las siguientes:

+ | 0 | 1 | 2 |
0 | 0 | 1 | 2 |
1 | 1 | 2 | 0 |
2| 2 | 0 | 1 |

* | 0 | 1 | 2 |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 2 |
2 | 0 | 2 | 1 |

ANILLOS CONMUTATIVOS
Dos elementos a y b en un anillo A conmutan si ab = ba; y un anillo A es conmutativo si
todo par de elementos de A conmutan.
Los anillos que trataremos en este curso seran conmutativos; por tanto, y con el fin de abreviar, el termino “anillo” querra decir“anillo conmutativo” (salvo mencion expresa en sentido contrario en algún ejemplo particular).
Ejemplos:
(a) Los conocidos anillos de n´umeros enteros Z, racionales Q, reales R y complejos C con las operaciones
usuales de adici´on y multiplicaci´on respectivas. Todos ellos son conmutativos. El anillo Z es un subanillo
del anillo Q; Q es un subanillo de R; y R es un subanillo de C.
(b) El...