Grupos y semigrupos


Introducion
En este capítulo se identificarán otros dos tipos de estructuras matemáticas, los semignmos y los grupos. Se utilizará los semigrupos en el estudio de las máquinas de estado finito
Operaciones binarias
Una operación binaria sobre un conjunto A es una función definida para todo punto f:AXA—> A, Se acostumbra denotar las operaciones binarias mediante un símbolo, como *, en vez def, y denotar el elemento asignado a (a, b) como a * b [en vez de *(a, b)]
Propiedades:
Como Dom(f) = A X A, f asigna un elemento f (a, b) de A a cada pareja ordenada (a, b) en A X A. Es decir, la operación binaria debe estar definida para cada pareja ordenada de elementos de A.
Como una operación binaria es una función, sólo se asigna un elemento de A a cada pareja ordenada.
Una operaciónbinaria sobre un conjunto A es conmutativa si a * b = b * a
Para todos los elementos a y b en A
Una operación binaria descrita por una tabla es conmutativa si y solo si las entradas de la tabla son simétricas con respecto a la diagonal principal.
Una operación binaria * sobre un conjunto Q es asociativa si
a*(b*c) = (a*b) * c


Semigrupos
Es un conjunto no vacío S junto con una operaciónbinaria asociativa * definida en S. Se denotará el semigrupo como (S, *), o bien, si queda claro cuál es la operación *, sólo como S. También se hará referencia a a * b como el producto de ay b.
Sea (S. 1 un semigrupo y T un subconjunto de S. Si T es cerrado bajo la operación * (es decir, a*b Ɛ T siempre que a y b sean elementos de 7), entonces (T, *) es un subsemigrupo de (S, *). De maneraanáloga, sea (S, *) un monoide con identidad e, y sea T un subconjunto no vacío des. Si Tes cerrado bajo la operación * ye e 7', entonces (T,*) es un subruonolde de (S, *).
Teoremas
Teorema 1. Si a1, a2,... an, n ≥ 3, son elementos arbitrarios de un semigrupo, entonces todos los productos de los elementos a1, a2, an que puede formarse insertando paréntesis con sentido de marera arbitraria soniguales.
Si a1, a2,... an, son elementos en un setmigrupo (S,*), se escribirá su producto como a1 * a2 *...* an,
sin escribir los paréntesis.

Propiedades
La propiedad asociativa es válida en cualquier subconjunto de un semigrupo, de modo que un subsemigrupo (T,*) de un semigrupo (S,*) es en sí un semigrupo. De manera análoga, un submonoide de un monoide es a su vez un monoide.
El semigrupo (S,*) es conmutativo si * es una operación conmutativa.

Elemplos

Ejemplo 1: El conjunto P(S) , donde S es un conjunto, junto con la operacion de union es un semigrupo conmutativo.

Ejemplo 2: El conjunto Z con la operacion binaria de resta no es un semigrupo, pues la resta no es asociativa.

Ejemplo 3: Sea S un conjunto fijo no vacio, y sea el conjunto de toda las funciones f : S  S. Sif y g son elementos de , se define f * g como , la composicion. Entonces * es una operacion binaria sobre , y se implica que * es asociativa. Por lo tanto, (, *) es un semigrupo. El semigrupo no es conmutativo.

Ejemplo 4: Sea (L, ≤) una reticula. Se define una operacion binaria en L como a * b = a V b. Entonces L es un semigrupo.

Ejemplo 5: Sea A = un conjunto no vacio, A* es el conjuntode todas la secuencias finitas de elementos de A. Es decir, A* consta de todas las palabras que es posible formar con el alfabeto A. Sean α y β elementos de A*. Observe que la concatenacion es una operacion binaria sobre A*. recuerdes que si y , entonces . Es facil ver que si α, β y son elementos de A* , entonces

de modo que es una operacion binaria asociativa y (A*, es un semigrupo,llamada
Homomorphismo
Sean (S, *) y (T, *’) dos semigrupos. Una función definida para todo punto f: S -->T es un homomorfismo de (S, *) en (T, *1) si f (a * b) = f(a) *' f (b) para toda a y b en S. Además, si f es sobre T es una imagen homomorfa de S.
La diferencia entre un isomorfismo y un homomorfismo es que un isomorfismo debe ser biunívoca y sobre. Para un isomorfismo y un homomorfismo, la...