GUIA DE EJERCICIOS

Consideremos las funciones: y=f(x) , e, y=f (-x), de modo que f(x) ≠ f (-x),
cuya representación es:

Denotemos por γ (x) = f (-x), y veamos como podemos construir esta nueva
función.

Sea g: ℜ → ℜ ,de modo que: g(x) = -x.

Entonces γ (x)=f (-x) y como –x=g(x), se obtiene sustituyendo que
γ (x)=f(g(x))
El proceso por el cual se ha construido la nueva función γ a partir de las
funciones g y f sellama composición de funciones, y la función que resulta se denota
por “fog” y se lee:” γ es idéntica a la composición "fog”.
En general, dadas las funciones f y g tales que g este incluido en Domf,la función
compuesta que se denota “fog” es la función definida por:
(fog)(x)=f(g(x)) , para cada x en el Dom. De g
Dos interpretaciones graficas de la composición “fog” se dan en las figurassiguientes:

Interpretación esquemática:

La notación “fog” indica, también el orden en que se aplican las funciones. Este
orden es importante ya que en general:
fog ≠ gof
Ejemplo:
S f(x) =x 3 y g(x)= 2x+1 ,entonces:
(gof)=g(f(x))
= g(x 3 )=2x 3 +1
En cambio: (fog)=f(g(x))
=f(2x+1)
=(2x+1) 3 =8x 3 +12x 2 +6x+1
Para la aplicación sucesiva del proceso de composición se cumple la
asociatividad de estaoperación, es decir:
(fog)oh=fo(goh)
Es decir: (fogoh)=f(g(h(x)))
Ahora supongamos que, dada una función “f”, existe otra función tal que:
G(f(x))=x , ∀ ∈ Domf
Si pensamos en la función f como un procesoen la cual a partir de un cierto
“objeto” x se fabrica otro objeto f(x), entonces podemos pensar en la función g como el
proceso inverso mediante el cual a partir del producto f(x), se recupera elobjeto
original.

Para que este proceso sea posible es necesario que los objetos originales y los
fabricados por f se correspondan uno a uno; es decir, objetos diferentes deben dar origen
a productosdiferentes. En símbolos:
x 1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )

Diremos que una función f es invertible uno a uno si:
x 1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
La función inversa de f definida así, es la función g la...