GUIA DE MATRICES

Guia 4.
Operatoria en Mm×n (R).
x y
z w

1. Determinar si existen x, y, z, w ∈ R tales que: 3

3

+

4
x+y
z+w
3

.

3

aij +
j=1

x
6
−1 2w

0 si i = j
. Calcule 3c2 −4c3 , si A2 = [bij ] y
1 si i = j

2. Dada la matriz A = [aij ] ∈ M3 (R), con aij =
ci =

=

bij .
j=1

3. Si A = [aij ], B = [bij ]3×3 ∈ M3 (R) son tales que:

aij =

i + j si i < j
,bij =
2i − j si i ≥ j

2
si i − j es par.
3 − i si i − jes impar.

Determine: A − B, A + B y AB − 2A.
4. Resuelva la ecuaci´
on matricial 2X + At = A + B 2 si se sabe que X ∈ M2 (R) y
A=

21
1 0

,B =

3 1
1 2

5. Determine la forma general de las matrices cuadradas de orden 2, que conmutan respecto al pro−2 1
.
ducto, con la matriz
−3 1
1
3
. Determine si existe unamatriz B de orden 2 × 1 no nula tal que AB = 3B.
4 −3


1 1 1
7. Dada la matriz A =  1 1 1  deduzca una formula para An .
1 1 1
6. Sea A =

8. Si A, B, C ∈ Mn (R) son tales que AC = CA y BC =CB, demuestre que:
(AB ± BA)C = (AB ± BA)
9. Sea A ∈ Mn×m (R) y c ∈ R demuestre que si cA = 0 entonces c = 0 o A = 0.
10. Sean A, B, C ∈ Mn (R) demuestre que A(B + C) = AB + BC.
11. Sean A y Bson matrices cuadradas de orden n, idempotentes y que conmutan (con rspecto dle
producto de matrices). Demuestre que (A + B)4 = A + B + 14BA.

1




1 0 0
12. Si A =  1 0 1 , determine siA2n = nA2 − (n − 1)I, para todo natural n. SI su respuesta es
0 1 0
afirmativa calcule A30 .
13. Utilice el principio de inducci´
on matem´atica para demostrar que para todo natural n es v´alidala
igualdad:
x 1
0 x

n

xn nxn−1
0
xn

=

14. Utilice el principio de inducci´
on matem´atica para demostrar que para todo natural n se tiene que:
1 tg(x)
− tg(x)
1
15. Sea A =

12
4 −3

n

= 1 + tg2 (x)

n
2

cos(nx) sen(nx)
− sen(nx) cos(nx)

.

determine f (A) donde f (x) = 2x3 − 4x + 5.

16. ¿Existen matrices que sean a la vez triangular superior y...