Guia Tematica De Derivavas

FUERZAS MILITARES DE COLOMBIA
FUERZA AEREA
ESCUELA DE SUBOFICIALES
GUIA DE CÁLCULO DIFERENCIAL – DERIVADAS
TUTOR: LIC FERNANDO CORTES DIAZ

INTRODUCCION CALCULO DIFERENCIAL
Incremento de una función:
Sea, y = f(x) = x2 b
Si inicialmente “x” toma el valor 2, la variable “Y” (función) toma el valor y= f(2)= 22 = 4, para este valor en particular “x” . Incrementemos la variable “x” en unacantidad, que puede ser 0,1, esto es, hagamos que tome el valor 2.1. La variable “Y” tomará el valor
Y = f(2.1) = (2.1)2 = 4.41 quedando incrementada en 0.41
En general el incremento de la variable x lo llamaremosque es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,

Luego para unincremento = 0.1 hay un incremento de la función = 0.41.
Veamos como podemos obtener este resultado de otra manera:
Sea y = x2 después de incrementar la variable “x”
Y+ = f(x+ ) = (x + )2 ya que “y” queda incrementada en
Despejando = (x + )2 – x2 y desarrollando el producto notable del segundo miembro
= x2 +2x + ()2 – x2 simplificando
= 2x + ()2 y remplazando por los valoreinicialmente tomado se tiene que = 0.41
En general = f(x + ) – f(x)
Incremento relativo de una función:
El incremento relativo de una función es, por definición, el cambio que experimenta la función por cada unidad de cambio en la variable independiente “x” es lógicamente el cociente entre el incremento de “y” y el incremento de “x”
Incremento relativo de “y” con respecto de “x” =
LuegoSi hallamos el incremento relativo del ejemplo = 2x + ()2 tenemos:

Derivada de una función
Si al ejemplo anterior encontramos el límite del incremento relativo de la variable “y” con respecto de la variable “x” cuando tiende a cero, esto es:
Definición: Dada Y = f(x), se llama derivada de “y” con respecto de “x”, al limite de cuando tiende a cero y se representa porInterpretación geométrica de la derivada
Y = f(x) ya sabemos que esto representa una curva en el plano, tomemos sobre la curva el punto P(x,y).
Si incrementamos “x” en y “y” en se tendrá un segundo punto . Tracemos la cuerda PQ. Por P una horizontal y por Q una vertical. Estas dos rectas se cortan en R. de la figura se puede ver que:
pero la tan es la pendiente de la cuerda PQ y porconsiguiente, el incremento relativo de “y” con respecto a “x” es la pendiente de la cuerda PQ.
Si hacemos muy pequeño, permaneciendo P fijo, el punto Q se mueve sobre la cuerda de tal manera que se aproxima al punto P y la cuerda PQ tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto P.

Figura 1.
{En otras palabras, la derivada de una función en un punto nos da la pendiente de latangente a la curva en el punto en cuestión.}
Fórmulas de derivación
Tabla de derivadas
Función | Derivada | Ejemplos |
Constante |
y=k | y'=0 | y=8 | y'=0 |
Identidad |
y=x | y'=1 | y=5x | y'=5 |
Funciones potenciales |
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Funciones exponenciales |
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Funciones logarítmicas |
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| | | |Funciones trigonométricas |
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Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones |
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REGLA DE LA CADENA
 
Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,
 
y z =g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

entonces la función compuesta

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

Ejemplo: Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.
solución:
La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2  y g(x) =...