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Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.1
El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vectornulo, que no es un vector propio.
La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valorpropio correspondiente es 1 y el espacio propio es el eje de giro. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real.
Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente decero en V yc es un escalar tales que

entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespaciode V, el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un espacio propio Z es un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también pertenece a Z.
Ecuación del valor propio o autovalor[editar · editar código]
Matemáticamente, vλ es un vector propio y λ el valor propio correspondiente de una transformación T si verifica la ecuación:

donde T(vλ) es el vectorobtenido al aplicar la transformación T a vλ.
Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que  para todos los escalares a, b, y los vectores v, w). Considérese una base en ese espacio vectorial. Entonces, T y vλ pueden representarse en relación a esa base mediante una matriz AT y un vector columna vλ—un vector vertical unidimensional. La ecuación de valor propio en estarepresentación matricial se representa de la siguiente forma:

donde la yuxtaposición es un producto de matrices. Dado que en esta circunstancia la transformación T y su representación matricial AT son equivalentes, a menudo podemos emplear sólo Tpara la representación matricial y la transformación. Esto es equivalente a un conjunto de n combinaciones lineales, donde n es el número de vectores de labase. En esta ecuación, tanto el autovalor λ y las n componentes de vλ son desconocidos. Sin embargo, a veces es poco natural o incluso imposible escribir la ecuación de autovector en forma matricial. Esto ocurre, por ejemplo, cuando el espacio vectorial es de dimensión infinita, como por ejemplo en el caso de la cuerda mostrada anteriormente. Dependiendo de la naturaleza de la transformación T yel espacio al que se aplica, puede ser ventajoso representar la ecuación de autovalor como un conjunto de ecuaciones diferenciales, donde los autovectores reciben a menudo el nombre deautofunciones del operador diferencial que representa a T. Por ejemplo, la derivación misma es una transformación lineal, ya que (si f(t) y g(t) son funciones derivables y a y b son constantes)

Considérese ladiferenciación con respecto a . Sus autofunciones h(t) obedecen a la ecuación de autovalor:
,
donde λ es el autovalor asociado con la función. Una función en el tiempo es constante si , crece proporcionalmente a sí misma si  es positiva, y decrece proporcionalmente a sí misma si  es negativa. Por ejemplo, una población ideal de conejos engendra con más frecuencia a medida que hay más conejos, y...