Hiperbola

Hipérbola

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
HIPÉRBOLA
DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA

P del plano, tales que la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos.

Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos
Gráficamente esto es:

y
PB1

d1

F2

d2

V2

V1

F1

x

B2
d1-d2= constante

V2V1 que pasa por los focos es el eje real. La mediatriz B2 B1
del eje real es el eje imaginario. Cada extremo del eje real V1 y V2 se llama vértice. El punto medio del

Con relación a la figura, el segmento de recta

segmento F2 F1 se llama centro de la hipérbola. La distancia del centro a cada vértice se llama semiejereal y
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la distancia del centro a cada extremo del eje imaginario se conoce como semieje imaginario .

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL
ORIGEN
A partir de la definición de la hipérbola y de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, se
puede deducir la ecuación de una hipérbola en un sistema de coordenadas rectangulares.
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Algunos textos,definen al eje real como eje transverso y al eje imaginario como eje conjugado.

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Hipérbola

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Si los vértices se ubican en las coordenadas

V1 (a ,0)

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

y

V2 (− a ,0) ,

los focos están en

F1 (c ,0)

y

F2 (− c ,0) , el eje real de la hipérbola es coincidente al eje x , y si su centro seubica en el origen, tiene

la siguiente forma:

y
P
d1

B1(0,b)

d2

F2(-c,0)

V1(a,0)

V2(-a,0)

F1(c,0)

x

B2(0,-b)

P está en cualquiera de los vértices, la diferencia de distancias d1 − d 2 da como resultado
a − c − (−c − a ) , por lo que la suma constante se establece en 2a , a > 0 .

Si el punto

(

)

El punto P x , y pertenecerá a la hipérbola si y sólosi:
por lo tanto:

(x − (− c ))2 + ( y − 0 )2 − (x − c )2 + ( y − 0 )2

d1 − d 2 = 2a ,

= 2a

que equivale a:

(x + c )2 + y 2

= 2a +

(x − c)2 + y 2

elevando ambos miembros al cuadrado:





(x + c )2 + y 2 


2

=  2a +




(x − c )2 + y 2 


2



desarrollando:

(x + c)2 + y 2 = 4a 2 + 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2
x 2 + 2 xc + c 2 +y 2 = 4a 2 + 4a

(x − c )2 + y 2 + x 2 − 2 xc + c 2 + y 2

eliminando términos iguales:

2

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2 xc = 4a 2 + 4a

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

(x − c )2 + y 2 − 2 xc

que equivale a:

(x − c )2 + y 2

= 4 xc − 4a 2
dividiendo todo por 4 :
4a

a

(x − c )2 + y 2

= xc − a 2

elevando nuevamente alcuadrado ambos miembros:

a



(x − c )2 + y 2 


2



(

(

= xc − a 2

)(

a 2 (x − c )2 + y 2 = xc − a 2

(

)(

)

2

)

2

a 2 x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 = xc − a 2

)

2

a 2 x 2 − 2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 = x 2 c 2 − 2a 2 xc + a 4
reduciendo términos semejantes:

a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2 = x 2c 2 + a 4
invirtiendo nuevamente los miembros:x 2c 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2
acomodando convenientemente:

x 2c 2 − x 2a 2 − a 2 y 2 = a 2c 2 − a 4
factorizando x

(

)

2

2

en el primer miembro y a en el segundo miembro:

(

x2 c2 − a2 − a2 y2 = a2 c2 − a2
si se denota como b

2

)

a la expresión c − b , y se sustituye se tiene que:
2

2

x 2b 2 − a 2 y 2 = a 2b 2

a 2b 2 toda la expresión:
x2b 2 a 2 y 2 a 2b 2
−
=
a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2

dividiendo por

finalmente queda como:

x2
a2

−

y2
b2

=1

ecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la hipérbola horizontal con centro en el origen,
de semieje real a y de semieje imaginario b .
Una de las asíntotas pasa por el origen y el punto

(a ,b) ,

por lo que su ecuación está dada por:

y −0 0−b b
=...