Hiperbola

La hipérbola
Si 2a es la longitud del eje transverso y si 2c es la distancia focal a la razón 2c/(2a), existente entre la distancia focal y el eje transverso, se le llama excentricidad.
Hipérboladeriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado de hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, ensu estudio del problema de la duplicación del cubo,2 donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Procloy Eratóstenes.3
Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,4 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde sedesarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.
La excentricidad de la hipérbola es un número mayor que uno.


Ecuación reducida de la hipérbola
Veamos que la ecuación general de unahipérbola a x2 + bx y +c y2+ d x+ e y+f = 0, la podemos reducir a la forma canónica Ax2-By2=1, mediante una traslación de ejes y un giro.
1. En primer lugar, hacemos una traslación de forma que el Centrode la elipse coincida con el eje de coordenadas, con ello conseguimos que los términos en x e y desaparezcan.
2. Realizamos un giro tal que los ejes de la conica coincidan con los ejes decoordenadas.
Ecuación cartesiana de la hipérbola
Hemos visto que:
PF2 = (x-c)2 + y2 = (ex - a)2
c2 +x2 - 2 x c + y 2 = a2 + e2 x2 - 2 a c/ax = a2 + (c/a)2 x2 - 2 c x
c2 +x2 + y 2 = a2 + c2 /a2 x2
c2 -a2 = - x2 + c2 /a2 x2 -y2
b2= b2x2/a2 - y2
Así pues la ecuación reducida de la hipérbola es:
x2/a2 - y2/b2 = 1
o bien:
y2/a2-x2/b2=1
La parábola
La parábola es el lugar geométrico de puntos P,tales que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta denominada directriz.

Elementos de la parábola
El punto fijo F se denomina foco y a la recta directriz.
Si P es un punto de la...