hola

1

Material didáctico de Cálculo III

2

Introducción

Este material está dedicado a todos los estudiantes que deben cursar la asignatura de Cálculo en Varias Variables, asignatura obligatoria para la gran
mayorìa de estudiantes de carreras de ingeniería en la Ponti…cia Universidad
Católica de Valparaíso. La intención que se tuvo en la elaboración de este
material, es el de mostrar lasdiversas técnicas de trabajo y tratar de hacer
más transparente los objetivos del curso a través de la resolución de problemas, especialmente si estos problemas, como es en este caso, ha sido usado
previamente como material de evaluación. Este es un comienzo de un programa para mejorar el rendimiento en estas materias que tradicionalmente
han sido más que complejo en el curriculum de muchosestudiantes.

3

Desarrollo
1. Sea

8
< (x

y )2 y > x
0
x=y
f (x; y ) =
:
2(x y ) y < x

Determine justi…cando o demostrando adecuadamente:
(a) En que puntos del plano la función es continua.
(b) En que puntos del plano la función es diferenciable.
(c) En qué puntos del plano las derivadas parciales son continuas.
Solución:
(a) Debido a que en las regiones y > x y y < x, lafunción está expresada
por medio de polinomios, entonces en esas regiones la función es continua.
Ahora, si x0 = y0 , se tiene que
lim

(x;y )!(x0 ;y0 )

f (x; y ) =

lim

(x;y )!(x0 ;x0 )

= (x0

(x

x0 )2 = 0:

y )2

(para y > x)

Análogamente:
lim

(x;y )!(x0 ;y0 )

f (x; y ) =

lim

(x;y )!(x0 ;x0 )

= 2(x0

2(x

y ) (para y < x)

x0 ) = 0:

Por lotanto
lim

(x;y )!(x0 ;y0 )

f (x; y ) = 0 = f (x0 ; y0 ):

Luego la función es continua en todo el plano.
(b) Debido a que la función es de clase C 1 en las regiones y > x y y < x,
entonces en dichas regiones la función es diferenciable.
Para determinar diferenciabilidad en los puntos en donde x0 = y0 , determinemos las derivadas parciales en dichos puntos:
@f
(x0 ; x0 ) =
@x

limx!x0

f (x; x0 )
x

f (x0 ; x0 )
x0
8
>
< limx!x0

f (x; x0 )
= lim
=
x!x0 x
>
x0
: lim
x!x0
=

( x x0 ) 2
x x0

si x < x0

2(x x0 )
x x0

Si x > x0

0 si x < x0
2 Si x > x0

Como 0 6= 2, entonces la derivada parcial @f (x0 ; x0 ) no existe y por lo tanto
@x
la función f no es diferenciables en dichos puntos.
(c) En la región y > x se tiene que @f =@x = 2(x y )y @f =@y = 2(x y ).
Como ambas derivadas parciales son polinomios, entonces son continuas.
En la región y < x se tiene que @f =@x = 2x y @f =@y = 2y y por la
misma razón son continuas.
Si x = y , las derivadas parciales no existen, por lo tanto en esos puntos
obviamente las derivadas parciales no son continuas (ni siquiera existen!).
2 Calcule L en el caso que exista:
lim

(x;y )!(0;0)p

x2 + y 2
x2 + y 2 + 1

1

=L

Solución:

lim

(x;y )!(0;0)

(x2 + y 2 )

x2 + y 2

p

x2 + y 2 + 1

1

=

=
=

lim

(x;y )!(0;0)

lim

(x;y )!(0;0)

lim

(x;y )!(0;0)

= 2:

p
x2 + y 2 + 1 + 1

(x2 + y 2 + 1) 1
p
x2 + y 2 + 1 + 1
(x2 + y 2 )
p

x2 + y 2

x2 + y 2 + 1 + 1

3 Demuestre, usando la de…nición, que f (x; y ) = xy esdiferenciable en
todo el plano.
Solución:
Las derivadas parciales de la función dada son @f =@x = y y @f =@y = x,
entonces para que f sea diferenciable en un punto arbitrario (x; y ) se debe
cumplir que:
lim

(h;k)!(0;0)

jf (x + h; y + k )
p

f (x; y )
h2 + k 2

hy

k xj

= 0:

Pero
jf (x + h; y + k )
p

f (x; y )
h2 + k 2

hy

k xj

j(x + h)(y + k ) xy hy
p
h2 + k 2
h2+ y 2
jhk j
p
=p
h2 + k 2
h2 + k 2
=

Por lo tanto
0

jf (x + h; y + k )
p

f (x; y )
2 + k2
h

hy

k xj

p

hy

k xj

h2 + k 2

y por el teorema del sandwich se tiene que:
lim

(h;k)!(0;0)

jf (x + h; y + k )
p

h2

f (x; y )
+ k2

= 0:

k xj

4 Calcule

@f
( =3; 1) para la siguiente funcione:
@x
f (x; y ) = sin (xy x cos (xx y sin(x ln y...