Hola

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MATRICES Y DETERMINANTES

1.1
x + y + z + t =1

a) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales  x +
t=2
x + y
=0

empleando el método de Gauss utilizando transformaciones elementales de
filas. ¿En qué casos es compatible?.

b) Relacionar las matrices ampliadas correspondientes a los sistemas inicial y
final mediante las matrices elementales correspondientes a lastransformaciones elementales realizadas en el apartado anterior.
(Febrero 1996)

Resolución:
a) La matriz ampliada de sistema inicial es:
1 1 1 1 1 


A = 1 0 0 1 2  .
1 1 0 0 0 



Se realizan sobre ella transformaciones elementales de filas para resolver el
sistema con el método de Gauss:
1 1 1 1 1 


1 0 0 1 2 
1 1 0 0 0 



F2 − F1

→
F3 − F12 
1 0 0 1


0 −1 −1 0 1  .
0 0
− 1 − 1 − 1



Como el rango de la matriz de los coeficientes del sistema transformado es 3 y
el de la correspondiente matriz ampliada también es 3, el sistema es
compatible. Como el número de incógnitas es 4 el sistema considerado es
compatible indeterminado, y tiene infinitas soluciones dependiendo de un
parámetro:
= −t + 2
x

 − y−z= 1

− z = t −1


⇔

x = 2 − t

 y = −2 + t ,
z = 1 − t


∀t∈ .

b) Las matrices ampliadas de los sistemas inicial y final respectivamente son:
1 1 1 1 1 


A = 1 0 0 1 2 
1 1 0 0 0 



y

2 
1 0 0 1


C = 0 −1 −1 0 1  ,
0 0
− 1 − 1 − 1



siendo C = P2·P1, donde P1 y P2 son las matrices elementales asociadas a las
transformacioneselementales de filas realizadas sobre la matriz A hasta
obtener la C, es decir
1 0 0


I3 =  0 1 0 
0 0 1



F2 − F1
 1 0 0



→ P1 =  − 1 1 0  ,
 0 0 1



1 0 0


I3 =  0 1 0 
0 0 1



F3 − F1

→

 1 0 0


P2 =  0 1 0  .
 −1 0 1



1 2 0


1.2 Hallar la inversa de A =  2 1 0  utilizando matrices porbloques.
 1 −1 3



(Febrero 1996)

Resolución:
En primer lugar se calcula el determinante de A para comprobar que existe la
inversa de A (det(A) = -9). Se particiona la matriz en bloques
1 2 0

 M
A =  2 1 0  =  2x2

 1 − 1 3   C1x2



(0) 2x1 
,
D1x1 


con lo cual la inversa de A ha de estar particionada de la forma siguiente:
X
A-1 =  2x2
Z
1x2

Y2x1 
.
T1x1 


Así
M
A·A-1 =  2x2
C
 1x2

(0) 2x1   X 2x2
 ·
D1x1   Z1x2
 

Y2x1   I 2
=
T1x1   (0)1x2
 

(0) 2x1 
.
I1 


Operando con las matrices particionadas se obtiene el sistema matricial:
= I2
M·X
M·Y
= ( 0)

.

C·X + D·Z = (0)
C·Y + D·T = I1


Como M es una matriz regular (det(M) = -3), se premultiplica en laprimera
ecuación del sistema por M-1, y se obtiene
 1 2 
−

X = M-1 =  3 3  .
 2 − 1


3
 3

Procediendo de igual forma en la segunda ecuación, se obtiene
Y = M-1·(0) = (0).
Teniendo en cuenta que D es regular, de la cuarta ecuación se obtiene

1
T = D-1 =   .
 3
Y despejando Z de la tercera ecuación
 1 2 
 1
−
1
Z = -D-1·C·X = -   · (1 − 1) ·  33  = 
 2 − 1 3
 3


3
 3

−1
.
3 

De donde
 1 2
−
 3 3
2
1
-1
A =
−
 3
3
 1
1
−

3
 3


0

0.

1

3

1.3 Sea una matriz cuadrada Anxn cuyo determinante tiene un valor conocido e igual a
∆. Se realizan sucesivamente las siguientes transformaciones
1 : se multiplica por α la matriz A.
2 : se cambian entre sí las dos primerasfilas.
3 : se cambian entre sí las dos últimas columnas.
4 : se divide entre β una de las filas y se multiplica por γ una de las columnas.
5 : Desde i = 1 hasta n-1 sustituimos cada fila Fi por Fi + Fi+1.
6 : Por último trasponemos la matriz.
Obtener el valor del determinante para las sucesivas matrices que se van
obteniendo al realizar las transformaciones indicadas.
(Septiembre 1996)...