humanismo

1.- Optimización sin restricciones

Planteamiento del problema:

Opt. f(x)
f: D  Rn  R

CONDICIÓN NECESARIA DE ÓPTIMO
Ñf(x*)=q
CONDICIÓN SUFICIENTE (2º orden) DE MÁXIMO LOCAL ESTRICTO
Hf(x*) DEFINIDA NEGATIVA
CONDICIÓN SUFICIENTE (2º orden) DE MÍNIMO LOCAL ESTRICTO
Hf(x*) DEFINIDA POSITIVA


MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL SIGNO DE UNA FORMA CUADRÁTICA NO RESTRINGIDA:AUTOVALORES DE UNA MATRIZ A
(matrices simétricas)
Se trata de obtener las raíces de la ecuación característica: çA- a Iç= 0
donde A es la matriz cuadrada de orden n, I es la matriz identidad de orden n.
DEFINIDAS
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
DEFINIDA POSITIVA
ai > 0, "i=1,...,n
DEFINIDA NEGATIVA
ai < 0, "i=1,...,n
SEMIDEFINIDAS
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

SEMIDEFINIDAPOSITIVA
ai³0, "i=1,...,n
con al menos un aj =0 y un ak>0 , 1£k,j£n

SEMIDEFINIDA NEGATIVA
ai£0, "i=1,...,n
con al menos un aj =0 y un ak 0
 aj < 0
NULA
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
NULA
ai = 0, "i=1,...,n
MENORES PRINCIPALES CONDUCENTES DE A
(matrices simétricas)
Determinante de Orden 1: 1ªfila-1ªcolumna; A1=ça11ç
Determinante de Orden 2: 2 primeras filas-2 primeras columnas
A2=Determinante de Orden 3: 3 primeras filas-3 primeras columnas
A3=
...
DEFINIDAS
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
DEFINIDA POSITIVA
A1>0,A2>0,A3>0,...An>0
DEFINIDA NEGATIVA
A10,A30,...
An>0 si n es par
An0,A2>0,A3>0,...Ar>0
Ar+1= 0, ..., An=0
con r = rango(A)


SEMIDEFINIDA NEGATIVA

A10,A30,...
Ar>0 si n es par
Arm , n= nº de variables, y m=nº de restricciones.
Para una funciónlagrangiana como ésta:
,
las condiciones de primer orden (necesarias) y las de segundo orden(suficientes), es decir, tras haber cumplido las de primer orden, son las siguientes, siempre que L(x,)C2 en (x*,*).
RESUMEN:
CONDICIÓN NECESARIA DE ÓPTIMO (primer orden)
ÑL(x*,l*)=q
CONDICIÓN SUFICIENTE DE MÁXIMO LOCAL (2º orden)
HL(x*,l*) DEFINIDA NEGATIVA
CONDICIÓN SUFICIENTE DE MÍNIMO LOCAL(2º orden)
HL(x*,l*) DEFINIDA POSITIVA


C.S. DE EXTREMO LOCAL
(segundo orden)





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METODOS PARA DETERMINAR EL SIGNO DE HL(x*, *)

METODO 1.- Menores orlados

La matriz hessiana de la función lagrangiana es:

Si las m primeras columnas de la matriz jacobiana de las restricciones en el punto crítico, Jh(x*), son L.I.(linealmente independientes: determinantedistinto de cero) las condiciones planteadas actuarán como condición necesaria y suficiente.





Si las m primeras columnas de la matriz jacobiana de las restricciones en el punto crítico, Jh(x*), son L.D.(linealmente dependientes, determinante formado por esas m columnas es nulo) las condiciones planteadas actuarán sólo como condición suficiente.





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Ejemplo de construcciónde los menores orlados:

Opt. F(x1, x2, x3, x4, x5)
sujeto a:
h1(x1, x2, x3, x4, x5)=b1
h2(x1, x2, x3, x4, x5)=b2

Se trata de un problema de 5 variables y 2 restricciones.(n=5, m=2). La matriz hessiana es una matriz de 7 por 7 (5+2).
Los menores orlados a calcular son los de orden r = m+1, ..., n = 3, 4, 5. Hay que calcular tres menores orlados, los de orden 3, 4 y 5 (serándeterminantes de orden 5, 6 y 7 respectivamente): H3* , H4* , H5* .
La función lagrangiana es:
L((x1, x2, x3, x4, x5)=
= F(x1, x2, x3, x4, x5)+ 1  b1 - h1(x1, x2, x3, x4, x5)+ 2  b2 - h2(x1, x2, x3, x4, x5)

Suponiendo que en el punto crítico (x*, *), la matriz hessiana de la función lagrangiana es la siguiente:


1
2
0
5
4
-1
2

2
3
-1
0
0
0
3

0
-1
4
1
3
0
15
0
1
7
9
2
11

4
0
3
9
8
4
3

-1
0
0
2
4
0
0

2
3
1
11
3
0
0

Para formar el H3* se toman las tres primeras filas y tres primeras columnas de la matriz hessiana de la función lagrangiana en el punto crítico, y se orlan con las tres primeras columnas de la matriz jacobiana de las restricciones con signo cambiado, y las tres primeras filas de la matriz...