Independencia de trayectoria

1.1.1. Integral de Línea Independiente de la Trayectoria Una integral de línea está determinada por su integrando y por una curva C entre 2 puntos P y P2 . Sin embargo, en ciertas condiciones el valor de una integral de línea solo 1 depende del integrando y de los puntos P y P2 no de la trayectoria de P a P2 . De dicha 1 1 integral se dice que es independiente de la trayectoria.
 Ejemplo:Suponga que un campo de fuerza f ( x, y )   y 2  2 x  4, 2 xy  4 y  5  mueve una

partícula desde el orígen hasta el punto 1,1 . Se demostrará que el trabajo total realizado es el mismo si la trayectoria es a lo largo de:  a  del segmento de recta desde el orígen hasta

1,1 .  b  del arco parábola
Solución:

y  x 2 desde el origen al punto 1,1 .  c  del arco de la curva

x y 3 desde el orígen al punto 1,1 .

Si T es la medida del trabajo efectuado, entonces:

T    y 2  2 x  4  dx   2 xy  4 y  5  dy
C

1

 a  Una ecuación de C es dy  dx en 1 . Entonces:

y  x . Se emplea x como parámetro y se considera y  x y
1

T    x 2  2 x  4  dx   2 x 2  4 x  5  dy
0

   3 x 2  6 x  1 dx
1 0

 x3  3x 2  x  1 3 1  31 0

 b  Otra ecuación de C

es y  x 2 . Tomando nuevamente x como parámetro y

considerando y  x 2 y dy  2 xdx en 1 , se obtiene:
T    x 4  2 x  4  dx   2 x 3  4 x 2  5  2dx
1 0

   5 x 4  8 x3  8 x  4  dx
1 0

 x5  2 x 4  4 x 2  4 x  1 2  4  4  3

1 0

 c  Otra ecuación de C es y  x3 . Si se toma y como parámetro y considera dx  3 y 2dy en 1 , se obtiene:
T    y 2  2 y 3  4  3 y 2 dy   2 y 4  4 y  5  dy
1 0

y  x3 y

   6 y 5  5 y 4  12 y 2  4 y  5 dy
1 0

 y6  y5  4 y3  2 y 2  5 y  11 4  2  5  3
1.1.2. Campo Gradiente. Función Potencial

1 0

El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. Si  es un campo escalar    de f es campo vectorial definido por f   ,entonces f se llama campo vectorial  gradiente y  recibe el nombre de función potencial para f .  Ejemplo: Sea f   f1 , f 2    seny, x cos y  3 ,   b  Halle un potencial de f . Solución:

 a  pruebe

 que f es campo gradiente.

a
f1 f  cos y , 2  cos y x y

  f es campo gradiente

   un potencial de f , entonces  seny ,  x cos y  3 x y  Integrando respectoa x tenemos: x

 b  sea 

 x , y   xseny  C( y )
Ahora derivando parcialmente  2  con respecto a y:
  x cos y  Cy   x cos y  3 x Cy   3

 2

Así, C y   3 y y nuestra función potencial buscada es:

 x , y   xseny  3 y
1.1.3.- Campo Conservativo. Se denomina como campo conservativo a un campo vectorial que es gradiente, y además es independiente dela trayectoria. El término conservativo se refiere a que a lo largo de la trayectoria, la energía mecánica permanece sin alteración.
 Ejemplo: Pruebe que f ( x, y )   6 xy 2  y 3 , 6 x 2 y  3 xy 2  es campo conservativo.

Solución:
 f f Primero debemos comprobar que f es campo gradiente, es decir, 2  1 . Sea x y 2 3 2 2 f1  6 xy  y y f 2  6 x y  3 xy , entonces:

f1  12 xy 3 y 2 y f 2  12 xy  3 y 2 x
  f es campo gradiente

 f

es campo conservativo.

1.2.-

 1.2.1.- Indique condiciones para que un campo vectorial f : D 
2 
2 sea campo gradiente.

 Condiciones para que f : D 
2 
2 sea campo gradiente, D debe ser conjunto abierto,  convexo, además, f debe tener derivadas continuas.     Si lo anterior se cumple, entonces:  , f     f  0 , es decir, si f   f1 , f 2   f f f es campo gradiente  2  1 x y  1.2.2.- Análogo para f : D 
3 
3  Para
3 , Condiciones para que f sea campo gradiente:    ( f es campo gradiente en D , conjunto convexo)  rotf  0

       rot f = xf =  , ,  x  f1 , f 2 ,  x y z  ˆ ˆ ˆ i j k       ˆ =  i y z  ˆ x j x y z f1 f 2 f3 f1 f 2...