Inecuaciones

Inecuaciones Cuadráticas

Objetivos
Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:
Hallar la solución de inecuaciones de la forma a x 2 + b x + c  0 En esta sección vamos a ver que a x 2 + b x + c = 0 es la frontera entre ax 2 + b x + c  0. 
Para visualizar este concepto, grafiquemos la ecuación y = x 2 + 4 x - 5 al escoger a = 1,b = 4 y c = -5 en la siguiente aplicación:

Ahora notamoslo siguiente:
x 2 + 4 x - 5 = 0 se puede visualizar como los valores de x en la curva y= x 2 + 4 x - 5 donde y = 0. Mirando los interceptos en x, y = 0 cuando x = -5 y x = 1.
Los valores de x = -5 y x = 1 dividen el eje de x en 3 partes.
Cuando x < -5 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven en azul.
Cuando -5 < x < 1 los valores de y son negativosasi x 2 + 4 x - 5  1 los valores de y son positivos asi x 2 + 4 x - 5 >0 . Los puntos se ven en azul.
Como conclusión, podemos ver que x 2 + 4 x - 5 = 0 es la frontera entre x 2 + 4 x - 5  0 .

Usar la aplicación de arriba para encontrar los valores de x consistentes con:
x 2 + 6 x - 7 = 0 , x 2 + 6 x - 7  0
x 2 - 3 x - 10 = 0 , x 2 - 3 x - 10  0
x 2 - 6 x + 8 = 0 , x 2 - 6 x + 8  0


Veamos otro caso.Consideremos la gráfica de la ecuación y = 3 x 2 + x + 2 . Para ello escogemos a = 3, b = 1 y c = 2 en la gráfica de arriba.
Si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 > 0 , la solución la conforman todos los valores de x que hacen que la desigualdad sea cierta. En este caso, para todos los valores de x, la inecuación es cierta ya que toda la gráfica está por encima del eje x, lasolución de esta inecuación es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, si nos piden resolver la siguiente inecuación: 3 x 2 + x + 2 .
Para encontrar los valores de frontera, debemos recordar que por definición de valor absoluto, si ∣ x ∣ = a , entonces x = a o x = - a .

Método para resolver inecuaciones con Valor Absoluto
Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, sesiguen los siguientes pasos:
1. Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
2. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
3. Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo paradeterminar el signo en cada intervalo.
4. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se puede expresar de distintas formas:
Como intervalo
Como conjunto
Gráficamente

Ejemplos
Ejemplo 1:
Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6
Solución:
Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. 
En este caso,ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la inecuación.

Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
Vamos a resolver la ecuación:
∣ x - 20 ∣ = 6
Aplicando ladefinición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
x - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14
x - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26

Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo en cada intervalo.
Intervalo
Punto de Prueba
Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
( - ∞ , 14 )
x = 0
∣ 0 - 20 ∣ = 20
( 14 , 26 )
x = 15∣ 15 - 20 ∣ = 5
( 26 , ∞ )
x = 27
∣ 27 - 20 ∣ = 7

Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cual de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que el intervalo de la segunda fila...