Inecuaciones

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Cap´ ıtulo 4

Inecuaciones
M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´ ıguez S.

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

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Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

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Cr´ditos e ´ Rosario Alvarez, 1984. Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Mar´ Elena Abarca, Lisseth Angulo. o ıa y Walter Mora. CristhianPa´z, Alex Borb´n, Juan Jos´ Fallas, Jeffrey Chavarr´ e o e ıa Walter Mora. Walter Mora, Marieth Villalobos. escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Primera edici´n impresa: o Edici´n LaTeX: o Colaboradores: Edici´n y composici´n final: o o Gr´ficos: a Comentarios y correcciones:

Contenido
4.1 4.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1 Operaciones con intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Inecuaciones lineales con una inc´gnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2.2 Inecuaciones en las que cada uno de sus miembros es o puede expresarse como unproducto y el otro miembro es cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Resolviendo inecuaciones con tablas de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inecuaciones cuadr´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Inecuaciones polimoniales de grado mayor que 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4.4.1 Inecuaciones en las que uno de sus miembros es un cociente y el otro miembro es cero. . . 3 . 6 . 11 . 15 . . . . . 26 33 39 48 55

4.3 4.4

4.1

Intervalos

En el Cap´ ıtulo 1, estudiamos algunos subconjuntos del Conjunto de los N´meros Reales, entre estos vimos: el u Conjunto de los N´meros Naturales, el Conjunto de los N´meros Enteros, el Conjunto de los N´merosRacionales u u u y el Conjunto de los N´meros Irracionales. Estudiaremos a continuaci´n otros subconjuntos del Conjunto de u o los N´meros Reales, a los cuales llamaremos intervalos. u Para esto es conveniente recordar que es posible establecer una correspondencia biun´ ıvoca, entre los puntos de una recta (recta num´rica), y el Conjunto de los N´meros Reales. As´ para cada n´mero real corresponde un, eu ı, u y s´lo un, punto de la recta num´rica, e inversamente cada punto de la recta num´rica representa un, y s´lo un, o e e o n´mero real. u Definici´n 1 o Sean a y b n´meros reales tales que a es menor que b (a < b). Se llama intervalo abierto de extremos a y b, u al conjunto cuyos elementos son los n´meros reales x que cumplen la condici´n de que: u o a 22 b.) 5 ≥ −2 2 √ 24

c.) 3 <

d.) x +2 ≥ 5 e.) x ≤ y f.) x + 3 < y − 5 Definici´n 9 o Una desigualdad entre dos expresiones algebraicas donde al menos una de ellas involucra variables, recibe el nombre de inecuaci´n. o

Ejemplo 14 a.) x + 2 ≥ 5 b.) x · y + z ≤ x + 3 c.) d.) x+y >1 x−y √ 5x − 2 < 3

e.) x + y < −3x − y d.) a3 − 1 ≥ 0

Definici´n 10 o En una inecuaci´n las variables involucradas reciben el nombre de inc´gnitas. oo Definici´n 11 o

13 Si la inecuaci´n involucra n variables, se dice que es una inecuaci´n con n inc´gnitas. o o o

A continuaci´n nuestro objetivo es estudiar, analizar y resolver inecuaciones con una inc´gnita. o o Definici´n 12 o En una inecuaci´n con una inc´gnita, cualquier n´mero real que est´ contenido en el dominio de las inc´gnitas, o o u e o y que al sustituirse por la inc´gnita enla inecuaci´n hace que la desigualdad correspondiente sea verdadera, es o o una soluci´n de la inecuaci´n. o o

Ejemplo 15 a.) En x + 2 > 3; si x se sustituye por 5, se obtiene una desigualdad verdadera: 5 + 2 > 3; adem´s 5 pertenece a al dominio de la inc´gnita, por lo que 5 es una soluci´n de la inecuaci´n x + 2 > 3. o o o b.) En x2 ≥ 5, si x se sustituye por −3, se obtiene una desigualdad...