informe

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FUNDAMENTOS MATEMATICOS
Ciencia y tecnolog´ıa de los alimentos
24 de enero de 2013
Pregunta 1 (2 puntos).
ex − esen x
.
x→0 x − sen x

a) Calcular l´ım

cos x

b) Calcular l´ım (1 − x)sen x .
x→0

Soluci´on: a) En primer lugar observamos que l´ım ex − esen x = l´ım x−sen x = 0,
x→0

x→0

por lo que el l´ımite que nos plantean es una indeterminaci´on del tipo
mos la reglade l’Hˆopital

0
0

. Aplica-

ex − cos x esen x
ex − esen x
= l´ım
l´ım
x→0
x→0 x − sen x
1 − cos x
Nuevamente tenemos una indeterminaci´on del tipo 00 . Aplicamos la regla del’Hˆopital mientras tenemos indeterminaciones de este tipo
ex − cos x esen x
ex − esen x
= l´ım
x→0
x→0 x − sen x
1 − cos x
x
e + sen x esen x − cos2 x esen x
= l´ım
x→0
sen x
ex + cos x esen x +3sen x cos x esen x − cos3 x esen x
= l´ım
x→0
cos x
=1
l´ım

cos x
= ∞, por lo que la indeterminaci´on
x→0
x→0 sen x
es del tipo (1∞ ). Utilizamos logaritmos para calcular el l´ımite.Llamamos L =

b) En este caso l´ım (1 − x) = 1 y l´ım

cos x

l´ım (1 − x) sen x y hacemos

x→0

cos x

cos x

ln L = ln l´ım (1 − x) sen x = l´ım ln(1 − x) sen x
x→0

x→0

ln(1 − x)
cosx
ln(1 − x)
= l´ım
= l´ım
ln(1 − x) = l´ım sen x
,
x→0
x→0 sen x
x→0
tan
x
cos x
que es una indeterminaci´on del tipo

0
0

. Aplicamos la regla de l’Hˆopital

ln(1 − x)
= l´ımln L = l´ım
x→0
x→0
tan x

−1
1−x
1
cos2 x

− cos2 x
= −1 ,
x→0 1 − x

= l´ım

luego
cos x

l´ım (1 − x) sen x = e−1 =

x→0

1
e

Pregunta 2 (2 puntos). a) Calcular yclasificar los extremos relativos de la funci´on
2x
f (x) = 4
.
x + 6x2 + 9
b) Calcular los extremos absolutos de la funci´on en el intervalo [0, 2].
Soluci´on: a) Para encontrar los extremos relativosde la funci´on calculamos la
primera derivada
f (x) =

2(x4 + 6x2 + 9) − 2x(4x3 + 12x)
(x4 + 6x2 + 9)2
2(x4 + 6x2 + 9 − 4x4 − 12x2 )
=
(x4 + 6x2 + 9)2
2(−3x4 − 6x2 + 9)
−6(x4 + 2x2 − 3)...