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Tema 2: Espacios vectoriales
La estructura de espacio vectorial juega un papel fundamental en el álgebra lineal pues es la base
de todos los conceptos que ahí se desarrollan. Vamos en la siguiente sección a tratarla.

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Definicion y ejemplos

Cuando manejamos vectores del plano R2 o del espacio tridimensional R3 podemos deducir una serie
de propiedades, a partir de las cuales, en unejercicio de abstracción, introducimos el concepto de
espacio vectorial como aquel ente que verifica dichas propiedades, que serán tomadas como axiomas
y que se recogen en la siguiente definición:
Definición 1.1 Sea V un conjunto y sea K un cuerpo. Supongamos que tenemos definidas dos
operaciones en V , una LCI ”+” (denominada suma), que asigna a cada par de elementos u, v ∈ V
un elemento u + v ∈ V ,y otra externa ”·”: K × V → V (denominada producto o multiplicación
por elementos del cuerpo), que asigna a cada elemento λ ∈ K y a cada v ∈ V un elemento λ · v ∈ V
(se podrá omitir el punto en adelante).
Se dice que la terna (V, +, ·) es un K-espacio vectorial o un espacio vectorial sobre K (en
adelante se dirá simplemente que V es un espacio vectorial) si se satisfacen las siguientespropiedades
(a las que denominaremos axiomas):
1) V es un grupo abeliano con la suma ”+”:
(a) (Propiedad asociativa) ∀u, v, w ∈ V se tiene que
(u + v) + w = u + (v + w)
(b) (Propiedad conmutativa) ∀ u, v ∈ V se tiene que
u+v =v+u
(c) (Elemento neutro) Existe un elemento, al que vamos a denotar por 0, tal que dado
cualquier u ∈ V se tiene que
u+0=u
(d) (Elemento opuesto) Dado u ∈ V existe unvector v tal que
u+v =0
Diremos que v es el opuesto de u y pondremos v = −u.
2) (Propiedades pseudodistributivas)
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a) ∀u, v ∈ V, ∀λ ∈ K se tiene que
λ · (u + v) = λ · u + λ · v
b) ∀u ∈ V, ∀λ, μ ∈ K se tiene que
(λ + μ) · u = λ · u + μ · u
3) (Propiedad pseudoasociativa) ∀u ∈ V, ∀λ, μ ∈ K se tiene que
(λ · μ) · u = λ · (μ · u)
4) (Pseudoelemento neutro) ∀u ∈ V se tiene que
1·u=u(donde 1 es el neutro para la multiplicación en el cuerpo K).
Observación 1.2 Los elementos de un espacio vectorial se denominarán vectores (de dicho espacio
vectorial) y los del cuerpo se llamarán escalares. Debido a las propiedades de un espacio vectorial
como grupo abeliano existirá un vector especial que será el neutro para la suma, al cual llamaremos
vector nulo, o vector cero, y lodenotaremos 0V . Y para referirnos al cero del cuerpo K distinguiéndolo del anterior podemos usar la notación 0K . Si no hay lugar a confusión los denotaremos a ambos
indistintamente por 0. También aparecen dos sumas, la de escalares y la de vectores. Representaremos ambas por el mismo símbolo ”+”, siempre que no dé lugar a confusión. Por último recordemos
que todo vector v ∈ V tendrá un vector opuestopara la suma, el cual será designado por −v (que
es el vector que cumple que v + (−v) = 0).
Propiedad: Sea (V, +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sean λ ∈ K y v ∈ V . Se
tiene que λv = 0 si y sólo si λ = 0 ó v = 0.
Ejemplo 1.3

1. Sea K = R el cuerpo de los números reales y consideremos el conjunto
V = R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}

Se define la suma interna ”+” y la multiplicaciónexterna ”·” en V coordenada a coordenada:
Dados u = (x, y), v = (z, t) ∈ V definimos
u + v = (x, y) + (z, t) = (x + z, y + t)
Dados u = (x, y) ∈ V y λ ∈ R definimos
λ · u = λ · (x, y) = (λ · x, λ · y).
Es sencillo comprobar que R2 , con estas operaciones anteriormente definidas, es un R-espacio
vectorial. Veámoslo.
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(a) Grupo abeliano:
i. Propiedad asociativa: dados
u = (x, y), v = (z,t), w = (a, b) ∈ V
se tiene que
(u + v) + w = [(x, y) + (z, t)] + (a, b) =
= (x + z, y + t) + (a, b) = ((x + z) + a, (y + t) + b) =
= (x + (z + a), y + (t + b)) =
= (x, y) + [(z + a, t + b)] =
= (x, y) + [(z, t) + (a, b)] = u + (v + w)
(hemos utilizado la propiedad asociativa de los números reales para la suma).
ii. Propiedad conmutativa: dados
u = (x, y), v = (z, t) ∈ V
se tiene que
u...