ingeniería

Tema 1.

Coordenadas Polares. Números complejos

Introducción.
Para identificar un punto de un plano necesitamos dos datos, previo establecimiento de un
sistema de referencia.
Coordenadas rectangulares o cartesianas:
Se toma como sistema de referencia un punto del plano O llamado origen y dos vectores
unitarios y perpendiculares  i , j .
La recta de vector director i que pasa por elorigen se llama eje X, y la recta de vector director j
que pasa por el origen se llama eje Y.
Dado un punto del plano P, existen dos números reales x e y, tales que el vector
OP  x  i  y  j .
A cada punto P del plano le corresponde uno y solo un par de números reales x, y llamado
coordenadas rectangulares (cartesianas) de P, con lo cual podemos identificar un punto con sus
coordenadas:P  x, y

Si

OP  x  i  y  j

Las coordenadas del punto P son
x, y → P  x, y
en el sistema de referencia
R  O,  i , j 

Coordenadas polares:
Se toma como sistema de referencia un punto del plano O, llamado origen o polo y una
semirrecta, con origen en dicho punto E, llamada eje polar.
Sea P un punto del plano, el vector OP se denomina radio vector de P. Sea:
1

rla distancia del punto P al polo. (longitud de OP. Por lo tanto es número real positivo.
y  ∈ 0, 2 el ángulo desde el eje polar al segmento OP , en sentido contrario a las agujas del
reloj
A cada punto P del plano, distinto del origen (P ≠ O), le corresponde uno y solo un par de
números r,  llamado coordenadas polares de P, con lo cual podemos identificar un punto con sus
coordenadas:P  r, , en el sistema de referencia Rp  O, E 

P=(r,α)

O

r
Polo O

α’

α

Eje polar

r’

Eje polar

P’=(r’,α’)
Observaciones:
El polo es un punto singular, ya que admite como coordenadas r,   0, , cualquiera que
sea .
El ángulo  ∈ 0, 2, si consideramos todos los ángulos tales que     2k ∀k ∈ Z,
determinan el mismo punto que el ángulo . Si  esnegativo, es el ángulo desde el eje polar al
segmento OP en sentido de las agujas del reloj.
Ejemplos:   −/2 →   3/2 ;   7 →   
De esta forma, también se pueden definir las coordenadas polares imponiendo que el ángulo
pertenezca a cualquier intervalo de longitud 2, por ejemplo  ∈ −, 
Relación entre coordenadas polares y cartesianas

2

Cambio de coordenadas polares acartesianas
Si tomamos como eje polar el semieje positivo X
la relación entre

P

las coordenadas polares r, 

r

y las rectangulares x, y de un punto P es:
O

x  r  cos 

y

α
x

y  r  sen

Ejemplos:
r,   1,  → x, y  −1, 0
r,   1, 0 → x, y  1, 0

r,   2,  → x, y  −2, 0
r,   2,  → x, y  −2, 0

r,   2, /3 →x, y  1, 3 

Cambio de coordenadas cartesianas a polares
Si tomamos como eje polar el semieje positivo X
la relación entre
las coordenadas rectangulares x, y

P

y las polares r,  de un punto P es:
y
r  x 2  y 2 ; tg  x  m
y
y
  arctan x  si x  0 ; (si x  0   arctan x   
si x  0 , y  0 →    ; si x  0 y  0 →   3
2
2

La función arco tangente

rO

α
x

arctg  arctan : R → −/2, /2, es por definición la inversa

de la restricción de la función tangente al intervalo abierto −/2, /2.
arctan m   ↔  ∈ −/2, /2 y tg  m, con lo cual tgarctan m  m para todo m ∈ R ,
mientras que arctantg   ↔  ∈ −/2, /2.

Ejemplos:
3

y

x, y  0, 1 → r,   1, /2;
x, y  0, −8 → r,   8, 3/2;x, y  0, −1 → r,   1, 3/2
y
x, y  1, 1 → r,    x 2  y 2 , arctan x  

y
x, y  1, −1 → r,    x 2  y 2 , arctan x    2 , 7/4;

x, y  −1, 1 → r, 

y
x, y  −1, −1 → r,    x 2  y 2 , arctan x      2 , 5/4;
Ejercicios:
1. Describe la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones polares y da la ecuación en...