Ingenieria De Control

Ingeniería de Control

Análisis de Sistemas en el Dominio del Tiempo

Gijón - Abril 2003

1

Ingeniería de Control

Indice
• Análisis de los sistemas • Respuesta impulsional • Respuesta a un escalón • Respuesta a una señal cualquiera • Estabilidad • Sistemas de primer orden • Sistemas de segundo orden • Sistemas de orden superior • Retardo puro • Criterio de estabilidad de RouthGijón - Abril 2003 2

Ingeniería de Control
Análisis de los Sistemas
• Conocido el modelo matemático del sistema se realiza el análisis de su X(s) Y(s) G(s) comportamiento dinámico.
x(t) g(t) y(t)

•Se utilizan señales de excitación sencillas y con transformada de Laplace.
u0(t)
(t)

f(t) 1

f(t) 1

1

t

t

1

t

1

t

• El análisis se puede realizar en el dominio deltiempo o en el dominio de f(t) la frecuencia.
M t / -M 2· /

Gijón - Abril 2003

3

Ingeniería de Control
Respuesta impulsional
• Señal de excitación: Impulso de Dirac
(t)
X(s) x(t)
y(t)

G(s) g(t)

Y(s) y(t)

Formas de respuesta típicas ante un impulso

x(t ) = (t ) X (s) = 1
t
0
y(t)

t

• Respuesta del sistema: g(t)

0 y(t)

(t)

t

Y ( s ) = X ( s )·G ( s ) = G( s ) y (t ) = L 1[G ( s )] = g (t )
0

t

Gijón - Abril 2003

4

Ingeniería de Control
Respuesta a un escalón
• Señal de excitación: Escalón unitario
u0 (t) 1
X(s) x(t) G(s) g(t) Y(s) y(t)

Formas de respuesta típicas ante un escalón

x(t ) = u0 (t )
t

y(t)

1 X ( s) = s
0 t y(t)

• Respuesta del sistema: Integral de g(t)
Y ( s) = X ( s)·G ( s) = y (t ) = L
Gijón -Abril 2003
1

G ( s) s
0

G(s) = s

g (t )d

0

t

5

Ingeniería de Control
Respuesta a una señal cualquiera
• Señal de excitación: x(t) • Respuesta del sistema:
Y ( s ) = X ( s )·G ( s ) y (t ) = x (t ) * g (t ) =
t 0

X(s) x(t)

G(s) g(t)

Y(s) y(t)

x(t

)·g ( )·d =

t 0

g (t

)·x( )·d

1. Se calcula la Transformada de Laplace de la entrada: X(s)=L[x(t)]2. Se obtiene la Función de Transferencia que sirve de modelo del sistema: G(s) 3. Se calcula la Transformada de Laplace de la salida: Y(s)=X(s)·G(s) 4. Se obtiene la Antitransformada de Laplace de Y(s): y(t)=L-1[Y(s)]

Gijón - Abril 2003

6

Ingeniería de Control Estabilidad (I)
Un sistema es estable si ante señales de entrada o perturbaciones acotadas produce salidas acotadas y regresa aun estado de equilibrio. Un sistema de control está en estado de equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado.
y(t)
(t)

G(s) g(t)
t

t

Estable
y(t)
G(s) g(t)

(t)

t

Inestable

t

Gijón - Abril 2003

7

Ingeniería de Control
Estabilidad (II)
m

X(s)

b0 s m + b1s m 1 + ... + bm 1s + bm = Ks G(s) = a0 s n +a1s n 1 + ... + an 1s + an

j =1 n i =1

(s + z )
j

x(t)

G(s) g(t)

Y(s) y(t)

(s + pi )

n m z j , pi C

z j son las raíces del numerador (ceros) pi son las raíces del denominador (polos)
-p1 Im -p4 -z2 -z3 -p2 ceros Re

Ejemplo de un Sistema de Primer Orden 1 L-1 g (t ) = e ·t ·u (t ) G(s) = 0 s+ La raíz es s1 = p1 = un polo real

Im -p1 Re

-z1 polos

-p3

Ejemplode un Sistema de Segundo Orden con polos complejos 1 1 L-1 g (t ) = 1 e ·t ·sen( ·t )·u (t ) G ( s) = 2 = 0 s + a ·s + b ( s + ) 2 + 2 Las raíces son s1, 2 = p1, 2 = ± · j dos polos complejos conjugados

-p1 -

Im

Re -p2 -

Gijón - Abril 2003

8

Ingeniería de Control
Estabilidad (III)
ESTABLE

-p1
g(t)

Im

g(t)

ESTABLE

Im -p1 Re

Re -p2
t

t

ImMARGINALMENTE ESTABLE g(t)

LIMITADAMENTE ESTABLE

Im -p1
INESTABLE

g(t)

-p1

Re
t

-p2 Im -p1 -

Re

t

Im -p1 Re

g(t)

g(t) INESTABLE

t

Re -p2
9

t

Gijón - Abril 2003

Ingeniería de Control
Estabilidad (IV)
-p1 Re -p2 -p1 Re -p2 Im -p1 -p2 - Re
g(t)
Menor frecuencia

g(t)

Im -p1
t

Im

g(t)

Re
t g(t)
Atenuación más rápida (Transitorio más...