ingenieria

´
DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
Desde el punto de vista anal´
ıtico para obtener la inversa bastar´ con despejar la variable independiente
a
y expresarla en funci´n de la variable dependiente.
o
Formalmente podemos decir que si la funci´n f : I ⊆ R → R es inyectiva, con rango J ⊆ R, entonces
o
existe la funci´n f −1 : J ⊆ R → R, llamada “inversa”de f, tal que
o
f −1 f(x) = x,

x∈I

f f −1 (y) = y,

y

y∈J

Derivada de la funci´n inversa La derivada de la funci´n inversa es la inversa de la derivada de la
o
o
funci´n. Formalmente se puede enunciar diciendo que si la funci´n f es diferenciable y tal que f (x0 ) = 0,
o
o
x0 ∈ I, entonces existe la funci´n inversa f −1 , al menos en un entorno de f (x0 ), dicha funci´n tambi´n
o
o
e
esdiferenciable, y su derivada es:
1
f −1 f (x) =
f (x)
o con la notaci´n de Leibnitz
o

dy
1
=
dx
dx
dy

o bien, yx =

1
xy

Funciones impl´
ıcitas Si consideramos una expresi´n del tipo F (x, y) = 0 nos preguntamos ¿en que
o
condiciones es posible despejar y en t´rminos de x y establecer una funci´n del tipo y = f (x)?. Evidentee
o
mente no siempre es posible obtener dicha funci´n.Por ejemplo de x2 + y 2 = 1 no se obtiene una funci´n
o
o
y = f (x). Cuando de F (x, y) = 0 se puede despejar la variable y, y escribir y = f (x), se dice que esta
ultima funci´n est´ dada impl´
´
o
a
ıcitamente en F (x, y) = 0.

Composici´n de funciones vectoriales
o
Para funciones de varias variables la situaci´n es, en principio, algo m´s complicada. T´ngase en cuenta
o
a
e
quedos campos escalares f, g : D ⊆ Rn → R no se pueden componer, pues la operaci´n de composici´n
o
o
entre funciones solamente se puede realizar cuando el rango de una de ellas est´ contenido en el dominio
a
de la otra, y los campos escalares tienen rango en R y dominio en Rn . Por lo tanto, los campos escalares solamente se podr´n componer con funciones de una sola variable, por la derecha; ocon funciones
a
vectoriales, por la izquierda. Es decir,
f

g

Rn − R − R
→ →

g

f

Rm − Rn − R
→
→

Pensando en la sustituci´n de las variables, para componer la funci´n z = f (x, y) tendremos que sustituir
o
o
las dos variables x e y, respectivamente, por dos funciones g1 y g2 que las conecten con otras variables,
donde g1 y g2 pueden ser funciones de una o varias variables(ambas de las mismas). As´ si consideramos
ı,
las funciones
x = g1 (u, v), y = g2 (u, v)
podemos sustituir en la funci´n z = f (x, y) y obtener la funci´n compuesta:
o
o
z = f g1 (u, v), g2 (u, v)
que en esquema ser´
ıa:
z = f (x, y)

x = g1 (u, v)
y = g2 (u, v)

z = f g1 (u, v), g2 (u, v)

Ahora bien, la pareja de funciones x = g1 (u, v), y = g2 (u, v) puede considerarse comolas componentes
de una sola funci´n vectorial g : D ⊆ R2 → R2 , de tal manera que a cada punto (u, v) ∈ D la funci´n
o
o
g le asocia el punto g(u, v) ∈ R2 , cuyas coordenadas son (x, y) = g1 (u, v), g2 (u, v) . O sea, g(u, v) =
g1 (u, v), g2 (u, v) .

. Y esto permite interpretar la sustituci´n de las variables como la aplicaci´n sucesiva de dos funciones.
o
o
En esquema ser´
ıa:
g

fR2 − R2 − R
→
→
(u, v) → (x, y) → z
de donde,
f ◦ g(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v)
Ejemplo 3.47. Hallar la funci´n compuesta de la funci´n f (x, y) = xy 2 + xy con las funciones
o
o
x = g1 (u, v) = u + v

ey = g2 (u, v) = uv

Soluci´n. Si queremos interpretar la composici´n como la aplicaci´n sucesiva de dos funciones, consideo
o
o
ramos la funci´n vectorial
og(u, v) = g1 (u, v), g2 (u, v) = (u + v, uv)
luego, en esquema, resulta
f (x, y) = xy 2 + xy
g(u, v) = (u + v, uv)

f

→
R2 − R
2 g
R − R2
→

g

f

R2 − R2 − R
→
→
(u, v) → (x, y) → z

de donde, la composici´n buscada, ser´:
o
a
h(u, v) = (f ◦ g)(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v) = f (u + v, uv) =
= (u + v)(uv)2 + (u + v)uv = u3 v 2 + u2 v 3 + u2 v + uv 2
N´tese...