Ingenieria

Cap´ ıtulo 3

Puntos y vectores en Rn
En el Tema 1 hemos visto lo que es un par o 2-upla de R2 , una 3-upla de R3 y en general una n-upla de Rn . En principio, tanto uplas como matrices son objetos matem´ticos que permiten organizar y analizar los a datos o informaci´n de los problemas que estemos estudiando. Veremos aqu´ sin embargo, que adem´s de un o ı, a medio para estructurar datos, loselementos de Rn admiten una representaci´n e interpretaci´n geom´trica y o o e son la herramienta matem´tica b´sica para la manipulaci´n de puntos, coordenadas, vectores, planos, rectas a a o y otros muchos elementos indispensables tanto en matem´ticas como en otras materias. a De este modo, aunque hasta ahora nos hemos centrado en el aspecto algebraico, en este tema estamos interesados en elaspecto geom´trico de los conceptos que hemos introducido en los cap´ e ıtulos anteriores. No solamente estudiaremos el aspecto geom´trico de los elementos de Rn de forma aislada sino que e tambi´n analizaremos las propiedades de ciertos subconjuntos de Rn que pueden definirse mediante una e ecuaci´n y que estamos acostumbrados a manejar de una u otra forma, hablamos aqu´ de rectas, planos, o ı esferasy en general de las figuras geom´tricas habituales. e

3.1

Puntos y vectores en Rn . Interpretaci´n geom´trica o e

Los elementos de Rn admiten principalmente dos representaciones geom´tricas. Una de ellas, como punto e de una recta, plano o espacio y otra como vector o segmento orientado. En realidad, de forma efectiva, solamente es posible representar geom´tricamente los conjuntos R2 y R3y, de forma m´s limitada, R4 . Sin e a embargo, por extensi´n aplicaremos estas ideas geom´tricas de punto y vector a R5 , R6 y en general a Rn . o e Comencemos viendo las t´cnicas para la representaci´n en forma de punto en R2 y R3 para pasar luego a e o estudiar el concepto de vector.

3.1.1

Puntos en Rn

La primera forma en que podemos representar una upla es en forma de punto. Veamosprimero los casos m´s importantes de R2 y R3 para ver despu´s, en general, Rn . a e Puntos en R2 . El plano real Los elementos de R2 son 2-uplas o pares como por ejemplo (2, 3), (3, −1), (0, 4). Su representaci´n se efect´a o u sobre un plano en el cual trazamos dos ejes perpendiculares, uno horizontal, usualmente denominado eje de abcisas, y otro vertical, denominado eje de ordenadas que se cortanen un punto denominado origen u origen de coordenadas. El primer n´mero del par se representa en el eje horizontal y el segundo en el vertical. As´ u ı, para representar la upla gen´rica (x, y) marcaremos x en el eje horizontal y marcaremos y en el vertical del e siguiente modo: 105

y

( x, y )

x

El eje horizontal suele denominarse tambi´n eje x y el vertical, eje y. e De formaintuitiva, representar un par equivale a dar coordenadas sobre un plano topogr´fico. El primer a n´mero del par indicar´ la posici´n este-oeste y el segundo la norte-sur. Los signos negativos en la primera u a o componente del par indicar´n que el punto se sit´a al oeste del origen y en el caso de la segunda componente a u el signo negativo indicar´ las posiciones al sur del origen. a

y

x

Veamosalgunos ejemplos concretos de representaci´n de puntos de R2 . o

Ejemplos 1. 1) Para representar la 2-upla (3, 2), nos desplazaremos respecto al origen 3 unidades en el eje horizontal y 2 en el vertical, tal y como se indica en el gr´fico. a
3.0

( 3, 2 )
2.5 2.0

1.5

1.0

0.5

1 - 0.5

2

3

4

Utilizando el s´ ımil de las coordenadas topogr´ficas, podr´ a ıamos decir que elpunto (3, 2) se encuentra situado 3 unidades al este del origen y dos unidades al norte.

106

2) La idea para representar cualquier otra 2-upla es la misma. En este caso representamos las uplas (−2, 2), (−2, 2) y (3, −1). V´ase c´mo el signo negativo en la primera componente indica que el punto est´ a la e o a izquierda del origen mientras que el signo menos en la segunda componente...