Ingenieria

Tema 8: Integración múltiple

TEMA 8 
  INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.

Introducción: La integral definida
La integral doble: definición y propiedades. Cálculo de la integral doble
Cambio de variables en la integral doble
Aplicaciones de las integrales dobles en el cálculo de áreas de superficies, centros de
masas y momentos de inercia
8.5. La integral triple: definicióny propiedades. Cálculo de la integral triple
8.6. Cambio de variables en la integral triple
8.7. Aplicaciones de las integrales triples en el cálculo de volúmenes, centros de masas y
momentos de inercia.

8.1.  INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA  
Sea una función continua y = f(x) definida en un intervalo I = [a,b]. Dividamos dicho intervalo en n
partes, no necesariamente iguales deamplitud xi.

Figura 8.1: Interpretación geométrica de la integral definida

En cada una de estas divisiones tomamos un punto arbitrario xi; el valor correspondiente en la función
es f(xi). Multiplicamos este valor de la función por xi y sumamos para todas las divisiones:
n

 f ( x )x
i

i

 f ( x1 )x1  f ( x2 )x2  ... f ( xn )xn

i 1

Si hacemos que el número de divisionescrezca indefinidamente, de modo que el mayor xi tienda a
cero, el número de sumandos tenderá a infinito al mismo tiempo que cada uno de ellos tiende a cero y
la suma tiende hacia el límite que llamaremos integral de f(x) extendida al intervalo I:
b


a

n

f ( x ) dx  lim

xi 0

 f ( x )x
i

i

i 1

La interpretación geométrica es inmediata: es el área de la superficielimitada por la curva, las rectas
x = a, x = b y el eje OX.
 
VIII – 1 

Matemàtiques 1 – Enginyeria Industrial (EET )                                                                     Prof. J. Gibergans‐Báguena (DMA3) 

8.2.  LA INTEGRAL DOBLE 
Consideremos ahora una función de dos variables independientes z= f(x,y) que representa una
superficie. Supongamos que esta función existe y escontinua en todos los puntos (x,y) de un
rectángulo R limitado por rectas paralelas a los ejes OX y OY, tal y como se muestra en la figura:

Figura 8.2: Interpretación geométrica de la integral doble

Descompongamos el rectángulo en pequeños rectángulos, de manera que xi y yi son las dimensiones
de uno de estos rectángulos y zi = f(xi,yi), el valor de la función en un punto (xi,yi) delmismo.
Multiplicamos este valor de la función por xi·yi y sumamos para todos los rectángulos:
n

n

 f ( x , y )x y
i

i

i

i

i 1 i 1

Si hacemos que el número de divisiones crezca indefinidamente, de modo que xi, yi tiendan a cero,
el número de sumandos tenderá a infinito al mismo tiempo que todos ellos tienden a cero y la suma
tiende hacia el límite que llamaremosintegral doble de f(x,y) extendida al recinto R:



n

f ( x, y ) dxdy  lim

R

n

 f ( x , y )x y

xi 0
i 1 i 1
yi 0

i

i

i

i

Igual que antes, la interpretación geométrica es inmediata: es el volumen del cuerpo limitado
lateralmente por una superficie prismática, el rectángulo R y por la porción de superficie
correspondiente.

8.2.1. Cálculo de laintegral doble
Vamos a calcular:

 f ( x, y ) dxdy

, extendida al recinto R limitado por una curva cerrada cuya

R

ecuación es conocida F(x,y)=0. Para ello hallaremos el volumen del cilindro que tiene por base el
recinto R y está limitado por la superficie z=f(x,y). Cortando este cilindro por un plano perpendicular
al eje OX obtendremos una sección cuya área dependerá del valor de x, esdecir, será una función de x,
S=S(x). Este plano cortará a la superficie según una curva que por ser en todos sus puntos la x
constante, tendrá por ecuación: z= f(x0,y), siendo x0 el valor constante que tiene x en todos los puntos
de este plano. El área de esta sección será entonces:

VIII – 2 

Tema 8: Integración múltiple

B

 f ( x , y ) dy
0

A

Los puntos A y B son...