Ingenieria

TEMA 1
DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?
Es una ecuación que contiene las derivadas de una
o más variables dependientes, con respecto a una
o más variables independientes.
variable dependiente

dy
0.2 x y
dx

variable independiente

d2 y
dy
3
 2y 0
2
dx
dx

dy
y
dt
2

Ejemplos de ecuaciones
diferenciales
 

La rapidez conque un cuerpo se calienta es
proporcional a la diferencia entre la
temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura
del ambiente Ta
dT
K (Ta  T )
dt

Donde K es el coeficiente de transmisión de
calor que depende del material

Dónde se usan ?

Notaciones
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación primada: y', y'', y'''… y(n),...
.

Notación de Newton:

..

...

x, x,x, ...

Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …
En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál
es la variable dependiente y la independiente:

dy
 5y  ex
dx
5

Las EDs se clasifican por:
•Tipo
•Orden
•Linealidad

Clasificación por tipo:
Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias
de una o más variablesdependientes de una sola
variable independiente.
Si la función desconocida depende de solo una variable
la ecuación se llama Ecuación Diferencial Ordinaria.
Ejemplo de EDO:

dy
 5y  ex
dx

7

Clasificación por tipo:
Ejemplo de EDO:

dy
2x
dx

y' 2x  y

dy
 5y  ex
dx

Una EDO puede contener más de una variable
dependiente:

dx dy

 2x  y
dt dt

dx(t ) dy (t )
 2 x(t )  y (t )
dt
dt
8

Clasificación por tipo…
• Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales
ordinarias:
•

dy
 2 y e x
dx

•

d 2 y dy

 3 y 0
2
dx
dx

•

dx dy

2 x  y
dt dt

Ecuación diferencial parcial (EDP):
Una ecuación que contiene derivadas parciales de
una o más variables dependientes de dos o más
variables independientes.
Ejemplos:
22

u u
 2 0
2
x
y
2

2

2

u u
u
 2 2
2
x
t
t

2

 v
 v
 2 2 v
2
x
y

10

Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o
EDP) es el orden mayor de la derivadas
involucradas en la ecuación.
Ejemplo:
segundo orden


2

primer orden


3

d y  dx 
x



5

4
y

e
 dy 
dx 2
 Luego, es una EDO de segundo orden.
11

Nota: A veces se escriben las EDOs en forma diferencial

M ( x, y )dx  N ( x, y )dy 0
Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente
y x la independiente en la EDO en forma diferencial:

( y  x)dx  4 xdy 0
dy
y  x  4x
0
dx
dy x  y

dx
4x
12

Forma general de orden n de una EDO:
(n)

F ( x, y, y ' ,  , y ) 0
    
n  2 variables

Donde F es una función de valores reales de n+2
variables x, y, y´, y´´, ..., y(n).
Forma normal de orden n de una EDO: :
n

d y
( n  1)

f
(
x
,
y
,
y
'
,

,
y
)
n
      
dx
n 1 variables

Por ejemplo, las formas general y normal de la EDO
4 xy’  y  x,
son:

F(x, y, y’ )  y’ - (x – y)/ 4 x  0
y’  (x – y)/ 4 x  f(x, y)13

Grado
El grado de una ecuación diferencial es el grado
algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el
grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que
esta elevada la deriva que nos dio el orden de la
ecuación diferencial.
Ejemplo:
La siguiente ecuación diferencial:

3

 dy 
5
xy

7
x
8


 dx 

es de tercer grado, dado que la primeraderivada, que
nos da el orden de la EDO, está elevada cubo.
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Ejercicios
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)

b)

4

2

2

5

d y
 d y   dy 
 4   5 2     3 x 2  7
 dx 
 dx   dx 
2

6

2

d y
d y
 dy 
2
 7 x   x   2 
2
dx
 dx 
 dx 

3

NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en...