Ingenieria

Estructuras y Construcciones Industriales

curso 2009-2010 - 4 de julio de 2011

EJERCICIO 1

La figura siguiente muestra una estructura formada por 6 barras articuladas de características mecánicas E·A idénticas para todas ellas y condiciones de apoyo en los nudos 1 y 2.
q 3 4 q

2>.

5>.

5

.

4m

3>

1

2

3m

3m

Sobre las barras 2 y 5 se aplica una sobrecarga qen toda su longitud igual y de sentido contrario en cada una de ellas, según se indica en la representación de la figura.

Se pide mediante aplicación del cálculo matricial: i. Analizar las condiciones de simetría del problema, indicando las relaciones entre los grados de libertad (desplazamientos y giros en los nudos) existentes. ii. Ensamblar la matriz de rigidez y vector de cargas (sólosistema reducido aplicando condiciones de contorno y de simetría) y determinar los desplazamientos ante el estado de carga indicado. iii. Calcular las leyes de esfuerzos en la estructura aprovechando las condiciones de simetría del problema. iv. Calcular las reacciones en los nudos con grados de libertad restringidos aprovechando las condiciones de simetría del problema.

-1-

6>

.

1 >.4 >.

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RESOLUCIÓN

El problema se resuelve en los grados de libertad (gdl) de los nudos extremos de cada barra, es decir, 5 nudos: 5×2=10 gdl. De los cuales existen restricciones en los dos nudos inferiores (1 y 2) por los apoyos. En consecuencia, sólo por las condiciones de contorno se tienen 4 gdlrestringidos y el problema se resuelve para los 6 restantes. Respecto a las condiciones de simetría se observa antimetría respecto a un eje vertical (Y-Y’). La relación entre grados de libertad a cada lado del eje se presentan a continuación.
Y’ q q

2>.

5>.

Y’ v+
. . 3> 6>

uvY

u+

Estas condiciones permiten escribir las relaciones entre los gdl de los nudos a derecha e izquierda y enel propio eje de simetría. Estos son:

Con todo ello, el problema se puede resolver con 3 gdl, los del nudo 3 que incluirán la información de los gdl en el nudo 5 y el gdl horizontal del nudo 4 sobre el eje de simetría.

1 >.

4 >.
Y

u5 = u3 v5 = -v3 v4 = 0

-2-

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Para su resolución se parte delensamblaje del sistema de ecuaciones completo según la numeración de nudos y barras indicada en el problema.

 R x1   1+3   1   3     u1 = 0 -k -k  R y1   k     v1 = 0     R    u =0 4+6   4   6    x2   k -k -k  2         v2 = 0  R y2    Fx3    1+2 2   u3 k -k F =   v3   y3    u 2+3+4+5 5 4  Fx4   sim. k -k        v4 = 0 Fy4   F   5+6   u5 = u3 k  x5     v 5 = -v 3   Fy5  









  





 

            

La matriz anterior se encuentra dividida en subcajas por nudo. En cada subcaja se muestran el ensamblaje en función del número de barra y a su derecha los términos que será preciso calcular ( ) y los que se despreciaran por no ser necesarios en elcálculo de desplazamientos (  ). Se desprecian todos los valores multiplicados por desplazamientos nulos o de ecuaciones en gdl conocidos. Las matrices de rigidez elementales se calculan para cada una de las barras, teniendo en cuenta sus propiedades mecánicas, longitud y giro respecto el sistema de ejes globales:

 ke K = e -k
e ij

-k e  E·A  cos 2αe e  ; donde k =  L sen αecos 2αe ke

sen αecos 2αe   sen 2αe 

Sustituyendo para los datos del problema se llega a lo siguiente: Barras 1 y 4 con longitud L = 4.27 m y αe  cos αe = 0.351; sen αe = -0.936:

 0.0289 -0.0770 k1 =k 4 =E·A   -0.0770 0.2052 
Barras 3 y 6, con longitud L = 4.27 m y αe  cos αe = 0.351; sen αe = 0.936:

0.0289 0.0770 k 3 =k 6 =E·A   0.0770 0.2052 

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