Ingeniero Civil

INTEGRALES INDEFINIDAS

INTEGRALES

INDEFINIDAS

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INTEGRALES INDEFINIDAS

ÍNDICE:

1.- FUNCIÓN PRIMITIVA.
2.- INTEGRAL INDEFINIDA.
3.- INTEGRALES INMEDIATAS.
3.1.- INTEGRACIÓN INMEDIATA DE ALGUNAS FUNCIONES.
4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.
5.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
6.- INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN.
7.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE.
8.- INTEGRACIÓNPOR PARTES.
9.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.
9.1.- FRACCIONES RACIONALES PROPIAS.
RAÍCES REALES SIMPLES.
RAÍCES REALES MÚLTIPLES.
RAÍCES IMAGINARIAS SIMPLES.
RAÍCES IMAGINARIAS COMPUESTAS.

9.2.- CASO DE FRACCIONES RACIONALES IMPROPIAS.
10.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

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1.- FUNCIÓN PRIMITIVA
En los temas anteriores se haestudiado como puede obtenerse la función derivada
de una función dada. En ocasiones se presenta la necesidad de llevar a cabo el proceso
contrario, esto es, dada una función hallar otra, denominada "Función Primitiva", cuya
derivada sea la primera.
Función primitiva de una función dada: ƒ(x), es otra función: F(x), cuya derivada
es la primera.
F(x) = función primitiva de ƒ(x) ⇒ F '(x) = ƒ(x)Ejemplo: F(x) = ln x, es función primitiva de : ƒ(x) = 1/x , ya que la derivada de ln x es 1/x

2.- INTEGRAL INDEFINIDA
No todas las funciones poseen función primitiva, ya que dada una función puede no
existir otra que la tenga por derivada.
Ahora bien, cuando una función: ƒ(x), posee función primitiva: F(x), ésta no es única,
sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las quedifieren de F(x) en una cantidad
constante.
En efecto, si F(x) es función primitiva de ƒ(x), se verifica que: F '(x) = ƒ(x), pues
bien, la función F(x) + C, donde C es un número real cualquiera, también es una función
primitiva de ƒ(x), ya que:
[F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x)
El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función ƒ(x) se
denominaintegral indefinida de ƒ(x) dx. La integral indefinida se representa por:

∫ f ( x)dx
De lo expuesto se deduce que la integración indefinida es la operación inversa de la
diferenciación, ya que consiste en hallar todas las funciones cuya diferencial sea una dada.
Ejemplos:

∫
∫ cos x dx = sen x + C
1
∫ x dx = 2 x + C
dx = x + C

∫
∫ sen x dx = − cos x + C
∫ e dx = e + C
1
dx = ln x + Cx

x

x

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3.- INTEGRALES INMEDIATAS
Integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin
más que considerar (a la inversa) las reglas de derivación.
A continuación mostraremos las integrales inmediatas de uso más frecuente:

a)

c)

e)

g)

i)

k)

∫
∫
∫
∫
∫
∫

dx = x + c

b)

1
dx = 2 x + C
xa x dx =

d)

ax
+C
ln a

f)

sen x dx = − cos x + C

h)

1
dx = tg x + C
cos 2 x

j)

1
dx = arcsen x + C
1− x2

l)

∫
∫
∫
∫
∫(
∫

x m dx =

x m +1
+C
m +1

e xdx = e x + C
1
dx = ln x + C
x

cos x dx = sen x + C

)

1+ tg 2 x dx = tg x + C

1
dx = arctg x + C
1 + x2

3.1.- INTEGRACIÓN INMEDIATA DE ALGUNAS FUNCIONES DE FUNCIONES

Sean y =ƒ(u), u = u(x) dos funciones continuas. La función y = ƒ(u(x)) es unafunción de función.
Supuesto que F(u) es una primitiva de ƒ(u) respecto a u; es decir se cumple

d
F (u ) = f (u ) ⇒
du

∫ f (u)du = F (u) + C

como du = u'(x)dx, sustituyendo resulta

∫ f (u( x))⋅ u' ( x)dx = F (u) + C
Si Conjuganos dicho resultado con la tabla de integrales indefinidas vista
anteriormente, obtendremosuna serie de integrales calificadas también de integrales
inmediatas para u = u(x):

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∫
u'
∫ u dx = ln x + C
 arctg u + C
u'
dx = 
∫ 1 + u − arc cot x + C
u m ⋅ u ' dx =

a)

b)

c)

f)

(m ≠ - 1)

2

 arcsen x + C
u'
dx = 
1− u2
− arccos x + C

∫
1
a ⋅ u ' dx =
⋅a +C
∫
ln a
∫ e ⋅ u' dx = e + C
∫ sen u ⋅ u' dx = −...