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ALGEBRA LINEAL.


Definición de transformación lineal y sus propiedades

Definición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función  

 tal que:


i)   

,  

.
ii)   

,  

,  

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales:“abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si  


 es una transformación lineal, entonces  

En efecto :



Por la ley de la cancelación en W, tenemos
que: 

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.

ii) 

 es lineal si y solo si :

, 

, 

Si T lineal, entonces:



.Inversamente, supongamos que:

, 

, 

. Probemos las dos condiciones para que  T  sea lineal:

a)    



.b)   



Nótese que usamos el hecho de que: 

lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).
iii)  

 es lineal si y solo si 





 

La demostración se hace por inducción sobre n.
a)      Si  

, entonces  

, por la condición  (ii) de T.b)      Supongamos válido para n. Probemos para 

:
Por la condición (i) de T, tenemos que, 



Y por hipótesis de inducción, tenemos que,



Así que podemos concluir que,



Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:


Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación  (ii) de arriba.
Ejemplo 1.
Sea   tal que  

,  


Entonces  T es lineal,  ya que  

, y  por otro lado, 

. Por lo tanto, vemos que 

.
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como 


Ejemplo 2.
Sea  

  tal que:

, 

. Entonces  T es lineal, ya que  :



.Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como 

.
Ejemplo3.
Sea  

  tal que  

 la traza de A, es decir:  

, la suma de los elementos de la diagonal. Entonces  T  es lineal, ya que 


Ejemplo 4.

Sea  

  tal que  
.
Entonces T es lineal, ya que 







Ejemplo 5:
Sea  

, el espacio vectorial de todas  las funciones continuas en un intervalo cerrado 

 y sea  

 tal que  

.  Entonces  T  es lineal ya que: 

Sedenomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
 T(u+v) = T(u) + T(v)
 T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.



2.- Metodología para transformación lineal de R2 en R3 .

El estudio de funciones de la forma w= F(x), donde la variable independiente x es un vector Rⁿ y la variable dependiente w es unvector en Rᵐ.
A y B son conjuntos de números reales, en cuyo caso α f se demonina función con números reales de una variable real. Otras funciones comunes ocurren cuando B es un conjunto de números reales y A es un conjunto de vectores en R2 y R3 o mas generalmente en Rⁿ .
Si el dominio de una función f es Rⁿ y el codominio es Rᵐ (m y n quizás iguales), entonces f se denomina transformación de Rⁿa Rᵐ y se dice que f mapea (aplica o transforma) Rⁿ en Rᵐ. Este hecho se denota escribiendo f: Rⁿ → Rᵐ.

Ejemplo 1: Una transformación lineal de en
Sea T: → definida por T= = .Por ejemplo:

T = Entonces T


T


T= T= Así T

T=
De manerasimilar T


T Así, T es una transformación lineal.


La transformación cero Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V→ W por Tv = 0 para todo v en V. Entonces = 0 =0 + 0 = En este caso, T se llama la transformación cero.


La transformación identidad. Sea V un espacio vectorial y defina...