Ingeniero mecánico

Clases segunda semana Continuamos el tema de opereaciones con vectores

PRODUCTO VECTORIAL
Dados los vectores u = u1 , u2 , u3 y v = v1 , v2 , v3 del espacio, el Producto vectorial entre u y v se define como u×v = i j k u1 u2 u3 v1 v2 v3 = (u2 v3 − v2 u3 )i − (u1 v3 − v1 u3 )j + (u1 v2 − v1 u2 )k

Observaciones 1. Los vectores i, j y k constiutyen una base para el espacio R3 . Estos sonvectores unitarios en la direcciones positivas de x , y y z respectivamente, en nuestra notaci´n o el vector producto vectorial se puede escribir como u × v = (u2 v3 − v2 u3 ), −((u1 v3 − v1 u3 )), (u1 v2 − v1 u2 ) 2. El producto vectorial define un vector que es al mismo tiempo perpendicular a los vectores u y v.

Figura 1: Producto Vectorial 1

3. La magnitud del producto vectorial se puededefinir tambi´n como e u×v = u v sen(θ)

donde θ define el ´ngulo entre los vectores u y v. a 4. De la forma como se define la magnitud, se observa, que si u y v son no nulos y θ = 0o o θ = 180o , entonces la magnitud del vector producto vetorial es cero, y viceversa si la magnitud del vector producto vectorial es cero, entonces el ´ngulo entre los vectores a o es cero o 180 . Este hecho, constituye unacaracterizaci´n del producto vectorial que o indica cuando los vectores u y v son parelelos. Podemos resumir este hecho asi u v ⇐⇒ u × v = 0

5. Geometricamente el vector u × v, tambi´n define un paralelogramo con lados u y e v , que tiene ´rea dada por A = u × v . a

´ Figura 2: Area 6. El producto vectorial no es conmutativo, en este caso se cumple u × v = −v × u Ejercicio Consultar y verificarpara algunos vectores particulares del espacio, las propiedades del producto vectorial y del producto escalar. 2

Ejemplo 1 Dados los puntos A = (5, 2, 3) y B = (−1, 3, −3) y el origen O, hallar el ´rea del paralela ogramo determinado. Soluci´n o Definamos los vectores u = OA = 5, 2, 3 y el vector v = −1, 3, −3 , entonces el ´rea a del paralelogramo queda determinada por u × v , esto es i j k 55 3 −1 3 −3

u×v =

= −15 − 9, −15 + 3, 15 + 5 = −24, −12, 20

y entonces el ´rea del paralelogramo es a ´ Area = u × v = (−24)2 + (−12)2 + 202 = √ 1120 U 2

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Sean los vectores u = u1 , u2 , u3 , v = v1 , v2 , v3 y w = w1 , w2 , w3 el triple producto escalar de los vectores u, v y w se define u1 u2 u 3 v1 v2 v3 w1 w2 w3

(u × v) · w =

El triple producto escalarse define como el determinante anterior, esto quiere decir que hereda muchas de las propiedades de los determinantes, una de ellas dice que una permutaci´n o de filas o columnas impl´ un cambio de signo en el valor del determinante. Por ´sta raz´n, ıca e o el producto escalar no es conmutativo. Observaciones 1. Puntos Coplanares; Cuatro o mas puntos son coplanares si existe un plano que loscontenga. 2. Vectores Coplanares; Dos o mas vectores son coplanares si existe un plano que los contenga. 3

3. Geometricamente el triple producto escalar define un s´lido (Paralelep´ o ıpedo), el vol´men u de ´ste s´lido esta dado por e o Vol´ men = |u × v · w| u

Figura 3: Triple producto representaci´n geom´trica o e 4. Las observaciones anteriores permiten una caracterizaci´n de cuando tresvectores o o cuatro punto son coplanares, ´sta es la siguiente e u, v y w son coplanares ⇔ u × v · w = 0

Figura 4: Vectores y puntos coplanares 4

Ejemplo 2 Dados los puntos A(1, 2, −3), B(−1, 1, −2), C(4, 2, −1) y D(−1, 0, 1) del espacio. Verifique si los puntos son coplanares y en caso de que no sean coplanares, hallar el vol´men del u tetraedro determinado. Soluci´n o Como tenemos un criterio de¸oplanares.en t´rminos de vectores y la pregunta est´ hecha c e a en t´rminos de puntos, debemos constru´ los vectores, conviene que sea con origen en el e ır mismo punto, digamos que tal punto es A, sean u, v y v definidos como sigue u = B − A; v = C − A; w =D−A u = −2, −1, 1 ; u = 3, 0, 2 ; w = −2, −2, 4 Con eso, (u × v) · w = −2 −1 1 3 0 2 −2 −2 4 = −2(0 − (−4)) + 1(12 + 4) + 1(−6 − 0) = 2...