Ingeniero

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INFORME DE TRABAJO ANALISIS NUMERICO
Aguirre Freddy
apfa2909@gmail.com

RESUMEN : En este informe se muestra la aplicaci´n de los m´todos de Interpolaci´n para la
o
e
o
aproximaci´n de grupos de datos aislados (puntos) mediante polinomios. As´ como tambi´n se muestra
o
ı
e
la aplicaci´n las t´cnicas num´ricas de integraci´n de funciones.
o
e
e
o

1.

´
INTRODUCCIONEn ciertos casos se conoce el valor de una funci´n f (x) en una serie de puntos x1 , x2 , · · · , xn , pero
o
no se conoce una expresi´n anal´
o
ıtica de f (x) que permita calcular el valor de la funci´n para un punto
o
arbitrario. Un ejemplo claro son las mediciones de laboratorio, donde se mide cada minuto un valor, pero
se requiere el valor en otro punto que no ha sido medido. Otroejemplo son mediciones de temperatura en
la superficie de la Tierra, que se realizan en equipos o estaciones meteorol´gicas y se necesita calcular la
o
temperatura en un punto cercano, pero distinto al punto de medida. La idea de la interpolac´n es poder
o
estimar f (x) para un x arbitrario, a partir de la construcci´n de una curva o superficie que une los puntos
o
donde se han realizado lasmediciones y cuyo valor si se conoce. Se asume que el punto arbitrario x se
encuentra dentro de los l´
ımites de los puntos de medici´n, en caso contrario se llamar´ extrapolaci´n.
o
a
o
Por otra parte el problema que se aborda en la integraci´n num´rica es :
o
e
Dada una funci´n f (x) y dos n´meros a y b de forma que f (x) est´ definida en el intervalo [a, b],
o
u
a
dk f
b
calcularladerivada
en un punto del intervalo o la integral a f (x)dx num´ricamente estableciendo
e
dxk
una cota del error cometido. f (x)es conocida s´lo en un conjunto discreto de puntos x1 , x2 , ..., xn ∈ [a, b],
o
por lo que ser´ necesario en primer lugar encontrar una aproximaci´n a la funci´n f (x) a partir de dicho
a
o
o
conjunto discreto de puntos. Las aproximaciones empleadas ser´n en generalpolinomios interpoladores
a
sobre el conjunto de puntos datos. En general encontraremos m´s practico aproximar la funci´n a tramos
a
o
mediante una serie de polinomios interpoladores de orden bajo, digamos de orden 1 o 2, que utilizar un
polinomio interpolador del orden n elevado.

2.

Ejercicio 1

El polinomio p(x) = 2 − (x + 1) + x(x + 1) − 2x(x + 1)(x − 1) interpola los primeroscuatro nodos de la
tabla
x
y

-1
2

0
1

1
2

2
-7

3
10

A˜ada un termino a p de tal forma que el polinomio resultante interpole la tabla entera
n
La forma general del polinomio interpolante de Newton para n+1 datos (x0, f (x0 )), (x1 , f (x1 )), ..., (xn , f (xn ))
es:
p = a0 + a1 (x − x0 ) + ... + an (x − x)(x − x1 )...(x − xn−1 )
1

Los coeficientes ai se obtienencalculando un conjunto de cantidades denominadas diferencias divididas
.La notaci´n para las diferencias divididas de una funci´n f (x) est´n dadas por ak = f [x0 ; x1 ; ...; xk ] y se
o
o
a
calcula recursivamente como sigue:
f [xi ] = f (xi ) = yi
f [xi ; xi+1 ] =

f [xi+1 ]−f [xi ]
xi+1 −xi

...
f [xi ; xi+1 ; ...; xi+k ] =

f [xi+1 ;xi+2 ;...;xi+k ]−f [xi ;xi+1 ;...;xi+k−1 ]
xi+k−xi

donde [...] son diferencias divididas finitas.
La forma de organizar estas diferencias en en una tabla

Asi para el caso particular que estamos analizando de tiene:
xi
-1

f (xi )
2

0

f [xi ; xi+1 ]

1

f [xi ; xi+1 ; xi+2 ]

f [xi ; ...; xi+3 ]

f [xi ; ...; xi+4 ]

-1
1
1
1

2

-2
-5

2

-9
2

-7

6
13

17
3

10

La que permite calcular loscoeficientes del polinomio de interpolaci´n de cuarto grado : 2, -1, 1, -2, 2 ,
o
obteni´ndose el polinomio
e
P4 (x)= (2) + (−1)(x + 1) + (1)(x + 1)(x) + (−2)(x + 1)(x)(x − 1) + 2(x + 1)(x)(x − 1)(x − 2) :
cuya grafica, con los puntos que se interpola es

2

3.

Ejercicio 2

La funci´n f (x) = x − 9−x = 0 tiene una soluci´n en el intervalo [0; 1]. Utilice la teor´ de interpolaci´n
o...