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DIVISIBILIDAD

1. Introducción
Ligada a la operaciones producto y cociente están las relaciones de divisibilidad.
Un número A es múltiplo de otro B (o divisible por él), si A se puede dividir por B, de forma exacta; es decir, si existe un tercer número C que multiplicado por B da A. También se dice que B es un divisor o factor de A.


2. Criterios de divisibilidad
Supongamosque estamos en una clase de 60 alumnos. Queremos distribuirlos por grupos, de manera que en todos los grupos haya el mismo número de alumnos. Éste es un problema típico de divisibilidad. Al ser 30 múltiplo de 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15,20, 30 y 60, se pueden formar grupos con esos números de alumnos. ¿Cómo sabemos si 60 es divisible por dichos números? Si se conocen criterios de divisibilidad, elproblema se simplifica.
Se pueden encontrar reglas algorítmicas para determinar criterios de divisibilidad. Algunos criterios de divisibilidad son bien conocidos:
DIVISIBILIDAD POR 2: Un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par.
DIVISIBILIDAD POR 3: Un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras absolutas es múltiplo de tres.
DIVISIBILIDAD POR 4: Un número esdivisible si las dos últimas cifras son dos ceros o un número múltiplo de 4.
DIVISIBILIDAD POR 5: Un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco.
DIVISIBILIDAD POR 6: Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3.
DIVISIBILIDAD POR 9: Un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
DIVISIBILIDAD POR 10: Un número es divisible por 10si termina en cero. De manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000.
DIVISIBILIDAD POR 11: Un número es divisible por once cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupa la posición par y la suma de las cifras que ocupan la posición impar es múltiplo de once.
Para la demostración de estas reglas, hay que partir de la expresión delos números naturales en el sistema de numeración decimal y ciertas propiedades de la divisibilidad. En este sentido, se puede demostrar fácilmente que
- La suma de dos múltiplos de un número p es otro múltiplo de p
- Si la suma de dos números es múltiplo de p, y uno de dichos números es múltiplo de p, el otro ha de ser también múltiplo de p
- Al multiplicar por cualquier número unmúltiplo de p, resulta otro múltiplo de p.
Para demostrar, por ejemplo, el criterio de divisibilidad por 2, se puede proceder del siguiente modo:
La expresión de cualquier número natural n en el sistema de numeración decimal es del tipo:
n = a + b.10 + c.100 + d.1000 + ...
Por ejemplo,
3857= 7 + 5.10 + 8.100 + 3.1000
Los números 10, 100, 1000, ... , son múltiplos de 2,de forma que el número
n = a + b.10 + c.100 + d.1000 + ...
será múltiplo de 2 si y sólo si el número a es múltiplo de 2. Lo que demuestra el criterio de divisibilidad por 2.
Para demostrar el criterio de divisibilidad por 3, podemos proceder así:
El número
n = a + b.10 + c.100 + d.1000 + ...
puede también expresarse como
n = a + b.(9+1) + c.(99+1) + d.(999+1) + ...
y también como(a + b + c + d + ... )+ (a + b.9 + c.99 + d.999 + ... )
La segunda parte de la expresión es múltiplo de 3, de manera que el número n será múltiplo de 3 si y sólo si a + b +c +d + .... es múltiplo de 3, resultando así el criterio de divisibilidad por 3.
De forma análoga se demuestran los restantes criterios.


3. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
El máximo común divisor(m.c.d). de varios números es el mayor divisor común a todos ellos. El mínimo común múltiplo (m.c.m). es el menor múltiplo común a todos ellos.
En la página web siguiente hay un procedimiento de generación automatizada del máximo común divisor de dos números:
http://school.discovery.com/homeworkhelp/webmath/intgcf.html
Se puede demostrar que el producto del m.c.d de dos números y del...