integlal

3. 1 integrales de línea en el campo complejo

 
3.2 Definición de integral de línea en los reales Sea a: I =01[;] t t n R un camino regulador a trozos y sea f un campo vectorial definido yacotado sobre a. Se define la integral de línea de f a lo largo dea
, y se representa por fda∫ , como:10 

fda f a t a t dt = •∫ ∫ 
Siempre que la segunda integral exista, bien como integral definidao bien como integral impropia, siendo A = a (1t) donde representa el producto escalar usual de nR

  Teorema de Cauchy-Goursat

a) Teorema de Cauchy-Goursat
Si f(z) es analítica sobre uncontorno cerrado C y su interior, entonces 

 Es un teorema de gran importancia en la teoría de funciones de variable compleja.
Su demostración es complicada bajo esta forma general.
La forma original deCauchy exige además la continuidad de  f´(z) sobre C y su interior. Goursat fue el primero en mejorar el teorema, suprimiendo la hipótesis de la continuidad de f´(z), no necesaria para demostrar latesis. Precisamente el ser f´(z)  continua es una consecuencia que se demuestra a partir del teorema.

Veamos la demostración en la forma de Cauchy:

Sea  R la región cerrada formada por  C y suinterior.  Sea  f(z) = u(x,y) + i v(x,y)
Por ser f(z) analítica en R, las u  y  v  son continuas, derivables y cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann en R.
Si añadimos que f´(z)  sea continua en R,entonces las derivadas de u, v  son continuas en R.
Es     

Y por ser u, v continuas y con derivadas continuas en R es aplicable el teorema de Green-Riemann a cada una de las integralescurvilíneas reales. Resulta: 

 Y por cumplirse las condiciones de Cauchy-Riemann: ux = vy; uy = -vx ,   resulta: 


 Teorema de Green
El teorema de Green establece la relación entre una integral de líneaalrededor de una curva C cerrada y simple, y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. 
El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso...