Integr_impropias

V. Integrales impropias
M. Higuera

Matemáticas I, 2015–16

M. Higuera (ETSIAE/UPM)

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Plan

1

Integración en intervalos no compactos de R

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Integrales (simples) impropias
El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos cerrados[a, b], con
a, b ∈ R. Este concepto se puede extender eliminando estas restricciones.

Definición y convergencia
Sean dados un intervalo no compacto [a, b[, siendo −∞ < a y b ≤ +∞, y una función
f : [a, b[→ R que admite las integrales ax f para todos los x ∈ [a, b[. Se dice que f es integrable
en [a, b[ si existe el límite
→b

x

lim

x→b−

f =
a

f
a

A dicho límite se le llama integral impropiaen b− , de f en [a, b[. Según que el anterior límite
sea finito o infinito, se dirá que la integral impropia a→b f es convergente o divergente.
Primera especie
Segunda especie

a

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x

b

a

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x

b

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Integrales (simples) impropias

Observaciones
Primera especie
Segunda especie

x

a

b
→a

b

Las integrales del tipo
f(impropias en
intercambiando los papeles de a y b.
Se define

→b
→a

f =

a

a+ )

x

b

se definen como las anteriores,

c
→b
f , que no depende de c.
→a f + c
→b
f se llamará seudoimpropia si [a, b[
a

La anterior integral
y f son acotados; nótese que
deja de ser impropia al asignar un valor real cualquiera a f (b).

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4 / 10Propiedades de las integrales (simples) impropias
En lo que sigue, se supone que las integrales impropias (en b− )
→b
a a g son convergentes.
1

Linealidad.→b
(hf
a

+ kg)

→b
(hf + kg) converge
a
→b
→b
=h a f +k a g

→b
a

f

(h, k ∈ R) y vale
→b
a

f ≤

→b
a

2

Monotonía.- Si f (x) ≤ g(x) para a ≤ x < b, entonces

3

Regla de Barrow.- Si f es continua en [a, b[, si G es una primitiva de f
en[a, b[ y si existe el límite G(b− ), de G(x) cuando x → b− , entonces
→b
f = G(b− ) − G(a)
a

4

Cambio de variable.- Si f es continua en [a, b[ y si ϕ : [α, β[→ R es una
función de clase C 1 tal que ϕ(α) = a, ϕ(β − ) = b− y ϕ([α, β[) = [a, b[,
→b
→β
entonces a f (x)dx = α f (ϕ(t))ϕ (t)dt

5

Integración por partes.- Si f y g son funciones de clase C 1 en [a, b[,
→b
→b
entonces a fg = [fg]→b
− a fg. Si dos de estos tres términos
a
convergen, entonces converge el tercero.
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g

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Ejercicios

1

Hállense los valores de las siguientes integrales impropias, comprobando que son
convergentes
+∞
π/2 cos x
2
√
xe−x dx
dx
J=
I=
senx
0
→0

2

Sea f una función definida en [a, c[∪]c, b], y sea (si existe)
b

c−ε

f = limVP

ε→0

a

b

f+
a

f
c+ε

(VP=valor principal). Pruébese que si existe ab f , entonces también existe su valor
principal y coincide con ella. Compruébese que el recíproco es falso (tómese por ejemplo
f (x) = 1/x, a = −1, c = 0 y b = 1).
3

Integrando por partes, calcular

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1
→0

x 2 ln x dx

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Criterios deconvergencia para integrales impropias

Criterios para el caso de integrando positivo
Criterio de la mayorante.- Si 0 ≤ f (x) ≤ g(x) cerca de b− , en cuyo caso se dice que
→b
g es mayorante de a→b f ), entonces
a
→b
a

g conv ⇒

→b
a

f conv

e

→b
a

f div ⇒

→b
a

g div

Criterio de comparación con paso al límite.- Si f > 0, g > 0 y f (x)/g(x) → l cuando
x → b− , entonces:
A. l < ∞, a→b g conv ⇒ a→b fconv
B. l > 0, a→b g div ⇒ a→b f div
También se cumple entonces que
(0 < l < +∞) ⇒ a→b f e a→b g tienen igual carácter

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Criterios de convergencia para integrales impropias
Ejercicios
1

Demostrar que
1
→0

dx
xα

+∞

converge para α < 1
diverge

para α ≥ 1

1

dx
xα

converge para α > 1
diverge

para α ≤ 1

+∞
2

e−x...