Integracion Mediante Fracciones Parciales Ejemplos

Integración Mediante Fracciones Parciales
Es uno de los métodos de integración más fácil donde la forma a seguir es dada por unos criterios.
Definición: Se llama función racional a toda función del tipo:
F(x)=p(x)q(x)
En donde p(x) y q(x) son polinomios con coeficientes reales y grado q(x)≥1)
¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?
Veamos los siguientes casos:
CASO1: Factores Lineales Distintos. 

A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma Aax+b, siendo A una constante a determinar. 
Ejemplo:
x+5x2+x-2 dx=
Factorizando el trinomio x2+ x-2 = x-1(x+2).
x+5x2+x-2 dx=Ax-1+Bx+2 dx

x+5x2+x-2 =Ax-1+Bx+2

x+5x2+x-2=Ax+2+B(x-1)x-1(x+2)x-1(x+2)x+5x2+x-2=Ax+2+Bx-1
x+5=Ax+2+B(x-1)
x+5=Ax+2A+Bx-B=x+5=Ax+Bx+2A-B
1x+5=(A+B)x+2A-B
1=A+B 5=2A-B
1+5=A+B+2A-B=6=3A
63=A
A=2
1=A+B=1=2+B=1-2=B
B=-1
x+5x2+x-2 dx=2x-1dx+-1x+2 dx
=2dxx-1-1dxx+2
=2duu-1duu=2lnu-1lnu
=2lnx-1-1lnx+2+C

CASO 2: Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia,le corresponde una suma de n fracciones de la forma:
A1ax+b+A2(ax+b)2+…+An(ax+b)n
Ejemplo:
x2x-3x+22 dx=x2x-3x+22
=Ax-3+B(x+2)+Cx+22
x2x-3x+22=Ax+22+Bx-3x+2+Cx-3(x-3)x+22
(x-3)x+22x2x-3x+22=Ax+22+Bx-3x+2+Cx-3
x2=Ax+22+Bx-3x+2+Cx-3
x2=A(x2+4x+4)+Bx2-x-6+Cx-3
x2=Ax2+4Ax+4A+Bx2-Bx-6B+Cx-3C
x2=Ax2+Bx2+4Ax-Bx+Cx(4A-6B-3C)
1x2=A+Bx2+4A-B+Cx+(4A-6B-3C)
1=A+B 0=4A-B+C0=4A-6B-3C
1=A+B=A=1-B
1=1-B 0=4(1-B)-B+C 0=4(1-B)-6B-3C
1=1-B 0=4-4B-B+C 0=4-4B-6B-3C
1=1-B 0=4+5B+C 0=4-4B-6B-3C
0=4+5B+C= -4+5B=C
1=1-B 0=4+5B+c 0=4-4B-6B-3(-4+5B)
1=1-B 0=4+5B+c 0=4-4B-6B+12-15B
0=4+12-4B-6B-15B=16-25B
B=1625
1=1-B = 1=1-1625=925
A=925
0=4+5B+c=-4+51625=c=-45
C=-45
x2x-3x+22=Ax-3+B(x+2)+Cx+22x2x-3x+22dx=925x-3dx+1625(x+2)dx+-45x+22dx
u=x-3 z=x+2 w=x+2du=dx dz=dx dw=dx
925duu + 1625dzz - 45dww2
45dww2=45w-2dw=925lnu+ 1625lnz-45 w-1-1=925lnu+ 1625lnz+45 1w

Sustituyendo
=925lnx-3+ 1625lnx-2+45 1(x+2)
=925lnx-3+ 1625lnx-2+ 45(x+2)+c
CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.
A cada factor cuadrático reducible, ax2+bx+c  que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de laforma Ax+Bax2+bx+c , siendo A y B constantes a determinar.
Ejemplo:
2x2-x+4x3+ 4xdx=2x2-x+4x(x2+4)=Ax+Bx+Cx2+4
2x2-x+4x(x2+4)=Ax2+4+Bx+Cxx(x2+4)
x(x2+4)2x2-x+4x(x2+4)=Ax2+4+Bx+Cx
2x2-x+4=Ax2+4+Bx+Cx
2x2-x+4=Ax2+4A+Bx2+Cx
2x2-x+4=Ax2+Bx2+Cx+4A

2x2-x+4=(A+B)x2+Cx+4A
2=A+B -1=C 4=4A
C=-1 A=44 A=1
2=A+B =2=1+B 2-1=B
B=1
2x2-x+4x3+ 4xdx=Ax+Bx+Cx2+4
2x2-x+4x3+4xdx=1xdx+x-1x2+4dx

=lnx+xx2+4-1x2+4dx
=lnx+xx2+4dx-dxx2+4dx
u=x2+4
du=2xdx

=lnx+122xx2+4dx-dxx2+4dx
=lnx+12duu-dxx2+4dx dxx2+1=arctanx+c
dx4x2+44dx=14dxx24+44=14dxx22+1

=lnx+12 lnx2+4+14dxx22+1=⁡
z=x2=12x
dz=12dx...