Integracion

Cap´ıtulo 4

Integrales M´
ultiples
4.1.

Problemas

Problema 4.1.1 Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de f sobre ciertos dominios. Croquizar esos dominios y expresarlas como integrales iteradas en el orden inverso de integraci´
on.

0

dx

f (x, y)dx

dy

2

4

y

1

1

0

√

dx

0

1

Problema 4.1.2 Calcular
casos:

0

1

D

f (x, y)dy

dx

2−x

y2

log(x)

e

f(x, y)dy

f (x, y)dx

dy

x

√
2x−x2

2

2y

2

f (x, y)dy

f (x, y)dxdy en cada uno de los siguientes

(a) f (x, y) = 2x − y y D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤
(b) f (x, y) =

√
x}.

4x2 − y 2 y D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.

(c) f (x, y) = xy 2 y D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ y + 1}.
(d) f (x, y) = x2 − y 2 y D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sen(x)}.
2

2

(e) f(x, y) = xy y D1 = {(x, y) ∈ R2 / xa2 + yb2 ≤ 1} ; D = D1 ∩ {y ≥ 0}.
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78
(f ) f (x, y) = (xy)2 y D es la regi´
on acotada del primer cuadrante comprendida entre las hip´erbolas: xy = 1, xy = 2 y las rectas y = x,
y = 4x.
Problema 4.1.3 Calcular
D f (x, y)dxdy en cada uno de los siguientes
casos, haciendo cambios de variable convenientes:
(a) f (x, y) = e−(x

2 +y 2 )

y D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ r2 }.

(b) f (x, y) = x + y y D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ x, x2 + y 2 ≤ 1}.
(c) f (x, y) = x2 +y 2 y D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y, x2 +y 2 ≥ 1, x2 +y 2 −2x ≤
0}.
(d) f (x, y) = x2 /(x2 + y 2 ) y D es el tri´
angulo de lados y = x, y = −x,
x = 1 (se sugiere pasar a polares).
(e) f (x, y) = (x − y)2 sen2 (x + y) y D es el cuadrado de v´ertices (0, π),
(2π, π), (π, 2π).
(f ) f (x, y) = x2 /(x2+ y 2 ) y D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤√x ≤ 1, x2 ≤ y ≤
2 − x2 }. Se sugiere hacer el cambio de variable x = v − u , y = v + u.
Problema 4.1.4 Calcular la integral
D xdxdy siendo D el paralelogramo de v´ertices (−2/3, −1/3), (2/3, 1/3), (4/3, −1/3) y (0, −1) de las
siguientes formas:
(a) En coordenadas cartesianas.
(b) Haciendo un cambio de variables lineal que transforme D en el cuadrado de v´ertices:(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
Problema 4.1.5 Sea U = {(u, v) ∈ R2 : u > 0} y h: U → h(U ) dada por
h(u, v) = (u + v, v − u2 ).
(a) Probar que h es un cambio de coordenadas (se hallar´
a expl´ıcitamente
h−1 ).
(b) Hallar Jh y det(Jh ) en un punto gen´erico. Hallar det(Jh−1 ) en (2, 0),
observando que h(1, 1) = (2, 0).

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Prof. Juan Carlos R´ıos P.

(c) Sea T el tri´
angulo de lados u = 0, v =0, u + v = 2. Calcular el a
´rea
de S = h(T ).
Problema 4.1.6 Demostrar la siguiente igualdad:
2

f (u) du,

f (xy) dxdy = log(2)
1

D

siendo D la regi´
on del primer cuadrante limitada por las hip´erbolas xy = 1,
xy = 2 y las rectas y = x, y = 4x.
Problema 4.1.7 Calcular la integral
1 + (x2 + y 2 + z 2 )3/2 dxdydz,
D

donde D = {(x, y, z): x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 }.
Problema 4.1.8 (a) Calcular
(x2 +y + z 2 )3 dxdydz,
A

donde
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z 2 ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
(b) Calcular
(x2 + y 2 )dxdydz,
B

donde
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 , x ≥ 0}.
Problema 4.1.9 Calcular

D

f dxdydz en los siguientes casos:

(a) f (x, y, z) = (x + y + z + 1)−2 , D = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥
0, x + y + z ≤ 1}.
(b) f (x, y, z) = xyz, D = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ y, 0 ≤ x, 0 ≤ z, x2 +y 2 +
z 2 ≤ 1}.

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(c) f (x, y, z) = x2 + y 2 y D es el dominio acotado comprendido entre:
x2 + y 2 = 2x, z = 0, z = 2.
(d) f (x, y, z) =
x2 + y 2 .

x2 + y 2 y D comprendido entre: z = 0, z = 1, z 2 =

(e) f (x, y, z) = z y D = {(x, y, z) ∈ R3 / 0 ≤ a ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ b }.
Problema 4.1.10 Calcular el volumen de D:
(a) D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 /a2 + y 2 /b2 ≤ z ≤ 1}.
(b) D = {(x, y, z) ∈ R3:

x2 + y 2 ≤ z ≤ 1 }.

(c) D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 , x2 + y 2 − rx ≥ 0, x2 + y 2 + rx ≥
0 }.
(d) D comprendido entre z = x2 , z = 4 − x2 − y 2 .
Problema 4.1.11 Hallar el volumen de la intersecci´
on de la bola x2 + y 2 +
2
2
2
z ≤ 1 con el interior del cilindro 2x + y − 2x = 0.
Problema 4.1.12 Designemos mediante (ρ, ϕ) las coordenadas polares en
el plano xOy.
(a) Hacer un...