Cap

12-06-2011

Instituto de Matemática
Universidad Austral de Chile

Cálculo en Varias Variables

Capítulo 4: Integrales de Línea
4.1 Curvas
4.2 Integral de Línea de Función Vectorial
4.3 Integral de Línea de Función Escalar
4.4 Independencia de la Trayectoria
4.5 Aplicaciones de la Integral de Línea
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4.1 Curvas
• Una curva C en ℝ 3 se puededefinir de tres maneras:
(a) Vectorialmente:
r : I → ℝ 3 , r = r ( t ) ; t ∈ I , I intervalo en ℝ .
o también:
r = ( x (t ), y (t ), z (t )), t ∈ I
(Identificaremos la curva C con el recorrido de r ).

(b) Paramétricamente:

x = x (t ) 

C : y = y (t )  t ∈ I
z = z ( t ) 

(t se denomina parámetro).

(c) Intersección de dos superficies:

C :

F ( x, y, z) = 0 

G ( x, y, z) = 0 (Posiblemente con algunas restricciones para x,y,z).

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4.1 Curvas
• Si la curva está en ℝ 2 ,se puede definir en las formas:
(a) Vectorialmente:
r : I → ℝ 2 , r = r ( t ); t ∈ I , I intervalo en ℝ .
r = ( x ( t ), y ( t )), t ∈ I
x = x (t ) 
t ∈ I
y = y (t ) 
(c) Implícitamente:
F ( x, y ) = 0
o también:

(b) Paramétricamente:(Posiblemente con algunas restricciones para x,y)

Observaciones:
Sea C la curva en ℝ n (n=2 ó 3) descrita por:

r = r ( t ), t ∈ I
1. El orden natural en I determina una orientación natural de C.
Si I = [ a , b ] , entonces r ( a ) y r ( b ) se llaman puntos inicial y final de C,
respectivamente.
La curva se dice cerrada si r ( a ) = r ( b ) .
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Instituto de Matemática
Universidad Austral de Chile4.1 Curvas
2. Si r ′ ( t ) = ( x ′ ( t ), y ′ ( t ), z ′ ( t )) existe y es distinto de cero, se llama
vector tangente a C, en el punto r ( t ) . ( r ′ ( t ) apunta en la dirección en que la
curva es trazada, cuando t aumenta).
Se llama vector tangente unitario a C en r ( t ) , a:

T =

r ′ (t )
r ′ (t )

3. C es una curva continua si es r ( t ) una función continua.

4. C es una curva simple si r (t ) es inyectiva en ]a , b [ . (Si C es cerrada, continua y
simple entonces C es una curva de Jordan). En ℝ 2 , una curva de Jordan C divide al
plano en dos regiones, una acotada que llamaremos interior de C y otra no acotada, la
que llamaremos exterior de C.
5. C es una curva suave o curva lisa si r ′ ( t ) es continua y r ′ ( t ) ≠ 0, ∀ t ∈ I .
C es seccionalmente suave, si el intervalo I sepuede dividir en un número finito de
subintervalos, tal que cada uno de ellos, la curva es suave.
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4.2 Integral de Línea de Función Vectorial
Definición:

Sea C una curva suave descrita por r : [ a , b ] → ℝ 3 .

Sea f : U → ℝ 3 continua, con U ⊂ ℝ 3 abierto que contiene a la curva C.
La integral de línea (o integral curvilínea)de f a lo largo de C, es:

∫

f ⋅ d r = ∫ f ( r ( t )) ⋅ r ′ ( t ) d t
b

C

a

Observaciones:
1. Como r ′ ( t ) es continua en

[ a , b ]y f es continua sobre C, entonces la integral

del segundo miembro existe.
2.

∫

C

f ⋅ d r también se anota ∫ f .
C

3. Si C es una curva cerrada, entonces la integral de línea se anota:

∫

C

f .

(Si nada se dice en contrario y C ⊂ ℝ 2 , la orientación deC se considerará
positiva, esto es, en sentido antihorario).
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4.2 Integral de Línea de Función Vectorial
4. Si f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) y r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , tenemos:

d r = r ′ (t ) d t
= ( x ′ ( t ), y ′ ( t ), z ′ ( t )) d t

= ( x ′ (t ) d t , y ′ (t ) d t , z ′ (t ) d t )
= (dx, dy, dz )
Así se tiene la siguientenotación:

∫

C

∫
= ∫

f •dr =

C

C

( f1 , f 2 , f 3 ) • ( d x , d y , d z )
f1 d x + f 2 d y + f 3 d z

5. Todo lo anterior se puede restringir a dos variables:
Si f = ( f 1 , f 2 ) y r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) , entonces:

∫

C

f •dr =

∫

C

f1d x + f 2 d y

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4.2 Integral de Línea de Función Vectorial
Observación:

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