Cap

12-06-2011

Instituto de Matemática
Universidad Austral de Chile

Cálculo en Varias Variables

Capítulo 5: Integrales de Superficie
5.1 Superficies
5.2 Integral de Superficie para Función Escalar
5.3 Integral de Superficie para Función Vectorial
5.4 Aplicaciones de la Integral de Superficie

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5.1 Superficies
• Una superficie S en R 3 sepuede definir:

a. Vectorialmente:

r : R → ℝ 3 , R región en ℝ 2 , r ( u , v ) = ( x ( u , v ), y ( u , v ), z ( u , v ))
(Identificaremos la superficie S con el recorrido de r ).
b. Paramétricamente:

x = x (u , v ) 

y = y ( u , v )  ( u , v ) ∈ R , R reg ió n en ℝ 2 .
z = z ( u , v ) 

c. Explicitamente:

z = f ( x , y ), ( x , y ) ∈ D región en ℝ 2 .

d. Implicitamente:

F ( x , y , z ) = 0,( x , y ) ∈ D o ( x , z ) ∈ D ′ o ( y , z ) ∈ D ′′.
D , D ′, D ′′ regiones en ℝ 2 .
2

1

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5.1 Superficies
Observaciones:

1. Sea una superficie S, definida por r : R → ℝ 3 , R región en ℝ .
2

Sea v fijo, v = v 0 (Es un segmento rectilíneo horizontal en R).
Su imagen por r es una curva C u situada en la superficie S.

∂ rcorresponde a un vector tangente a la curva
C u en el punto r ( u , v ) .
∂u
Análogamente para u fijo.

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5.1 Superficies
En cada punto de S en que

∂r ∂r
∂ r y ∂ r determinan
×
≠ 0 , los vectores
∂u ∂v
∂u ∂v

un plano tangente a la superficie con vector normal:

n =

∂r ∂r
×
∂u ∂v

n se denomina vector normal a la superficie S en el punto.
Un vectornormal unitario es n y se denota por N .
n
2. Si S está definida por r ( u , v ) = ( x ( u , v ), y ( u , v ), z ( u , v )) :

n =

∂ r ∂ r  ∂x ∂y ∂z   ∂x ∂y ∂z 
×
=
,
,
×
,
,
∂ u ∂ v  ∂ u ∂ u ∂ u   ∂ v ∂ v ∂ v 
=

i

j

k

∂x
∂u
∂x
∂v

∂y
∂u
∂y
∂v

∂z
∂u
∂z
∂v

4

2

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5.1 Superficies


=




n =


∂y
∂u
∂z
∂u∂y ∂z
∂v ∂u
,
∂z ∂x
∂v ∂u

∂z ∂x
∂v ∂u
,
∂x ∂y
∂v ∂u

∂x
∂v
∂y
∂v








∂ ( y, z) ∂ ( z, x) ∂ ( x, y ) 
,
,
∂ ( u , v ) ∂ ( u , v ) ∂ ( u , v ) 

3. Si S está descrita por z = f ( x , y ), ( x , y ) ∈ D .
Una parametrización de S es:

x =u


y = v  (u , v ) ∈ D .
z = f ( u , v ) 

(D proyección de S sobre el plano XY).
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5.1Superficies
∂r ∂r
×
∂u ∂v
∂f  
∂f 

=  1, 0,
 ×  0,1,

∂
u
∂v 

 
 ∂f
∂f 
n = −
,−
,1
∂
x
∂ y 


Así: n =

4. Si S está definida por F ( x , y , z ) = 0 , y es proyectable sobre el plano XY o
sea ( x , y ) ∈ D , entonces:

 ∂F ∂F



∂
y
,1 
n =  ∂x ,
∂
∂
F
F


 ∂z ∂z



(Análogamente se obtiene n si S es proyectable sobre el plano YZ o XZ).

6

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5.1 Superficies
Definición:

Sea S una supeficie en ℝ 3 descrita por r : R → ℝ 3 , r = r ( u , v ) , R
región en ℝ 2 .Entonces:
1. S es una superficie simple si r es inyectiva en Int (R).

2. S es una superficie suave (o superficie lisa) si:
(a) Fr(R) es una curva seccionalmente suave.
(b) r tiene derivadas continuas en Int(R).

(c) J = ∂ ( y , z ) , J =∂ ( z , x ) , J = ∂ ( x , y )
1
2
3

∂ (u , v )

∂ (u , v )

∂ (u , v )

para cualquier punto de Int (R), no son todos nulos.

Observaciones:
Sea S una superficie suave en ℝ , descrita por r : R → ℝ 3 , r = r ( u , v ) , R región
en ℝ 2 . (Cuando sea necesario, R se considerará cerrada).
1. Llamaremos frontera de S, y se anotará Fr(S), a la imagen por r de la frontera de R.
3

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5.1 Superficies
2. Una orientación u orientación normal de S consiste en elegir continuamente en cada
punto un único vector normal unitario a la superficie. (Es decir, no es posible mover el
vector normal unitario continuamente a lo largo de una curva contenida en S comenzando
en un punto y llegando nuevamente a él con el sentido normal invertido)....