Integral Definida

Cálculo Integral

“Integral Definida”

La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valoresnegativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.
Observación: La suma que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además subintervalos de distinta longitud.
Definición de las sumas deRiemann: Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea una división (partición) arbitraria de dicho intervalo a = x0 £ x1 £ x2 £ x3 £ ......... £ xn-1 £ xn = b donde D xi indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo. Si ti es cualquier punto del i-ésimo subintervalo la suma , xi-1 £ ti £ xi se llama suma de Riemann de f asociada a la partición .
Si bien la integraldefinida había sido definida y usada con mucha anterioridad a la época de Riemann él generalizó el concepto para poder incluir una clase de funciones más amplia. En la definición de una suma de Riemann, la única restricción sobre la función f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (antes suponíamos que f era no negativa debido a que estábamos tratando con el área bajo una curva).
Las integralesdefinidas pueden ser positivas, negativas o nulas.
Surgimiento del símbolo
Leibniz creó el símbolo en la última parte del siglo XVII. La es una S alargada de summa (palabra latina para suma). En sus primeros escritos usó la notación "omn." (abreviatura de la palabra en latín "omnis") para denotar la integración. Después, el 29 de octubre de 1675, escribió, "será conveniente escribir en vezde omn., así como en vez de omn.l ...". Dos o tres semanas después mejoró aún más la notación y escribió en vez de solamente. Esta notación es tan útil y significativa que su desarrollo por Leibniz debe considerarse como una piedra angular en la historia de la matemática y la ciencia.
La notación de la integral definida ayuda a tener en cuenta el significado de la misma. El símbolo hacereferencia al hecho de que una integral es un límite de una suma de términos de la forma "f(x) por una pequeña diferencia de x". La expresión dx no se considera por separado sino que forma parte de la notación que significa "la integral de una determinada función con respecto a x". Esto asegura que dx no tiene significado por si mismo sino que forma parte de la expresión completa . De todos modos,desde un punto de vista totalmente informal e intuitivo algunos consideran que la expresión dx indica "una porción infinitesimalmente pequeña de x" que se multiplica por un valor de la función. Muchas veces esta interpretación ayuda a entender el significado de la integral definida. Por ejemplo, si v(t) (positiva) es la velocidad de un objeto en el instante t entonces v(t) dt se podríainterpretar, según la consideración hecha, como velocidad . tiempo y esto sabemos que da por resultado la distancia recorrida por el objeto durante un instante, una porción de tiempo muy pequeña dt. La integral se puede considerar como la suma de todas esas distancias pequeñas que como ya analizamos da como resultado el cambio neto en la posición del objeto o la distancia total recorrida desde t = a hastat = b.
Esta notación permite además determinar qué unidades se deben usar para su valor. Como sabemos los términos que se suman son productos de la forma "f(x) por un valor muy pequeño de x". De esta manera la unidad de medida de es el producto de las unidades de f(x) por las unidades de x. Por ejemplo:
* si v(t) representa la velocidad medida en y t es el tiempo medido en horas, entonces...