Integrales Definidas

Tema 6

Integral Definida
6.1

Introducci´n
o

En este tema estudiaremos la Integral Definida o Integral de Riemann, un concepto
matem´tico que esencialmente puede describirse como el l´
a
ımite de una suma cuando
el n´mero de sumandos tiende a infinito y cada uno de ellos tiende a cero. Desde el
u
punto de vista hist´rico la construcci´n del concepto riguroso de integral est´ asociadoo
o
a
al c´lculo de ´reas.
a
a

6.2

Definici´n de Integral Definida
o

Comenzaremos analizando el problema de calcular el ´rea determinada por el eje de
a
abscisas, las rectas x = a, x = b y la gr´fica de la funci´n f (x), que supondremos en un
a
o
primer caso continua y positiva en el intervalo [a, b]:
La idea que utilizaremos es partir el intervalo [a, b] en variossubintervalos: [a, x1 ],
[x1 , x2 ], . . . [xn−1 , b], de manera que el ´rea que buscamos ser´ la suma de las ´reas de
a
a
a
cada una de las figuras planas que resultan de dicha divisi´n. Tomemos ahora en cada
o
sub-intervalo un valor arbitrario de la abscisa: {ξ1 , . . . , ξn }, y construyamos el rect´ngulo
a
de altura f (ξ) correspondiente a cada uno de los subintervalos (ver Figura 8.1 derecha).Podemos as´ aproximar el valor del ´rea buscada por la suma:
ı
a
A ≈ f (ξ1 ) (x1 − a) + f (ξ2 ) (x2 − x1 ) + . . . + f (ξn ) (b − xn−1 )
Evidentemente esta aproximaci´n ser´ tanto mejor cuanto m´s subintervalos se ino
a
a
troduzcan, y en particular si el n´mero de ellos tiende a infinito (y la anchura de todos
u
y cada uno de ellos tiende a cero) entonces en dicho l´
ımite el resultadoser´ exacto y nos
a
proporcionar´ el ´rea buscada.
a a
Este proceso de paso al l´
ımite es el que define la integral definida o integral de
Riemann, que veremos a continuaci´n con m´s detalle:
o
a
59

60

´
CALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8
y

y

x
a

x

b

a

Ξ1

x1

Ξ2

x2

Ξ3 x3 Ξ4

b

Figura 6.1: Construcci´n de una suma de Riemann.
o

El concepto deintegral definida se construye a partir de la idea de pasar al l´
ımite
una suma cuando el n´mero de sumandos tiende a infinito y simult´neamente cada uno
u
a
de los sumandos tiende a cero. Para determinar con precisi´n esta idea introduciremos
o
las siguientes definiciones:
Definici´n. Dado un intervalo [a, b] llamaremos partici´n de [a, b] a toda colecci´n
o
o
o
de n + 1 puntos P = {x0, x1 , · · · , xn } tales que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
Toda partici´n P del intervalo [a, b] lo divide en n subintervalos [xk−1 , xk ] de anchuras
o
respectivas ∆xk = xk − xk−1 .
Definici´n. Dada una funci´n f (x) definida en el intervalo [a, b], una partici´n P =
o
o
o
{x0 , x1 , · · · , xn } de [a, b] y dados n puntos ξ = {ξ1 , ξ2 , · · · , ξn } tales que ξk ∈ [xk−1 , xk ],
sellama suma integral o suma de Riemann de la funci´n f (x) en [a, b] correspondiente
o
a la partici´n P y a la elecci´n de puntos ξ a la suma siguiente:
o
o
S(f, P, ξ) =

n
∑

f (ξk )∆xk = f (ξ1 )∆x1 + · · · + f (ξn )∆xn

k=1

Si suponemos que la funci´n es continua1 en [a, b] entonces, por el teorema de Weierstrass,
o
f (x) alcanza su valor m´ximo Mk y su m´
a
ınimo mk en cadasubintervalo [xk−1 , xk ],
podemos entonces construir las sumas de Riemann correspondientes a dichos valores,
obteniendo la suma superior de Riemann de f (x) en [a, b] con respecto a la partici´n P :
o
U (f, P ) =

n
∑

Mk ∆xk

k=1

y la respectiva suma inferior:
L(f, P ) =

n
∑

mk ∆xk

k=1
1

Realmente ser´ suficiente con que f (x) fuera continua en cada subintervalo de lapartici´n P .
ıa
o

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´
CALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8

Es evidente entonces que el conjunto de todas las sumas de Riemann de una funci´n dada
o
en un intervalo, con respecto a una partici´n concreta P , est´ acotado superiormente
o
a
por U (f, P ) e inferiormente por L(f, P ).
Definici´n. Se dice que una funci´n f (x) definida en [a, b] es integrable (en el sentido de
o...