Integrales Definidas

Integrales definidas. Teoremas
2º Bachillerato

Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los
materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Esquema

Área bajo una curva

Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX
en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).

Sumas de Riemann
Como la función es contínua en cadaintervalo existen un mínimo y un máximo
(Tª de Weiersstra)
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Las sumas inferiores(suma de los rectángulos)
s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 .  x2 + ... + mn .  xn

Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Las sumas superiores (suma de los rectángulos
superiores) se expresan así
S(f; Pn) = M1 .  x1 + M2 .  x2 + ... + Mn .  xn

Cualquiera de los valores s(f;Pn) o S(f; Pn) es una aproximación al área R(f; [a, b] )

Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso
calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y
las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante
aproximaciones

Área(Trapecio rectilíneo) =
f(a) + f(b) .
=
(b – a)


Área (Trapecio curvilíneo) 
f(a) + f(b) .

(b – a)


Error que se comete al
tomar una por otra

Integral definida
Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva)
en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la
partición Pn.
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
s(f;Pn) = m1 .  x1 + m2 .  x2 + ... + mn .  xn

Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
S(f; Pn) = M1 .  x1 + M2 .  x2 + ... + Mn .  xn

Integral definida y área bajo una curva I

f(x)  0 x[a, b]

f(x)
f(x)
R

f(x)  0 x[a, b]

A(R) =

b


a

A(R) =
–
=

f(x) dx

b


a

b


a

|

b


a

– f(x) dx =

f(x) dx =

|
f(x) dx

Integral definida y área bajo una curva II

Sif(x) toma valores
positivos y negativos
en el intervalo [a, b],
se calculan cada una
por separado y se
suman los resultados
teniendo en cuenta los
signos.

A(R) =

c


a

f(x) dx

–  d f(x) dx +  e f(x) dx –  b f(x) dx
c

d

e

Propiedades de la integral definida

1.

a

b

b

a

 f ( x)dx   f ( x)dx.
a

2.



f ( x) dx  0.

a

b

3.  kdx  k (b  a ) siendo k un númeroreal.
a

4.

b

b

b

a

a

a

  f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx.
b

b

a

a

5.  kf ( x)dx  k  f ( x )dx siendo k un número real.

Propiedades de la integral definida

6.

b

c

b

a

a

c

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx para cualquier c [a, b].

7. Si f ( x)  0 para todo x  [ a, b],

b

 f ( x)dx  0.
a

8. Si f ( x)  g ( x) para todo x  [a, b],
b

b

a

a

 f (x)dx   g ( x)dx.
9. Si n  f ( x)  m para todo x  [a, b],
b

n(b  a )   f ( x)dx  m(b  a ).
a

10.  f ( x ) dx  f ( x ) dx .
b

a

b

a

Función área o función
integral

Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral
F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:
x

f (t )dt
a

F ( x)

Teorema del valor medio:interpretación geométrica
b

Enunciado: Si f es continua existe c[a,b] en el que

f ( x )dx (b  a )·f (c)
a

Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y
abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el área
del recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c).

Por tanto R1 = R2

Teorema del valormedio para integrales

Enunciado:

Si f es continua en el intervalo [a, b], existe c  [a, b] en el que  b f(x) dx = (b – a) f(c).
a
Demostración: área pequeña < A.curva < área grande

M

m (b – a) 

m

1 b
f(x) dx
b – a 

b


a

f(x) dx  M (b – a)

1 b

b – a  a f(x) dx M

Puesto que f es continua en [a, b] toma todos los
valores entre m y M. Por tanto existe un c  [a, b]
tal...