Integrales indefinidas aplicaciones

Aplicaciones en el Cálculo de Áreas
Ejemplo 1. Encontrar el área de la región limitada por
y ≤ 4 − x2 ;

y ≥ −x + 1

y

x≥0

Solución:

Figure 1: .
Nótese que las alturas
2

h( x ) = 4 − x − (− x + 1)
Por lo tanto

si

x ∈ 0,

1+

√

13

2

√
1+ 13
2

[4 − x2 − (− x + 1)]dx = 5.489347212

A=
0

Ejemplo 2. Calcular el área de la región limitada por
y = x3 −4x

y

y=0

Sólución:
Encontremos los puntos de intersección, para ello basta que
x3 − 4x = 0 ⇒ x = −2,
Claramente hay dos regiones una en [−2, 0] y la otra en [0, 2]

1

x=0

y

x=2

Figure 2: .
por lo que
A=

0

−2

[ x3 − 4x − 0] dx +

2
0

[0 − ( x3 − 4x )] dx = 8

Ejemplo 3. Encontrar el área de la zona rayada, limitada por
√
y = 2 x + 2; y = x2 ; x = 0y

x=5

Solución:
En este caso, el área total está dividida en dos áreas, A1 que está en [0, x0 ] y A2 que está en [ x0 , 5].
Calculemos a x0 :
Basta hacer
√
2 x + 2 = x2
en consecuencia, se tiene que x0 = 2
Es obvio que

√

x + 2 − x2 si x ∈ [0, 2]
2 √
A1 =
(2 x + 2 − x2 )dx =

h1 ( x ) =

0

No menos obvio es

√
h2 ( x ) = x 2 − 2 x + 2

Por lo tanto
A2 =

5
2si

x ∈ [2, 5]

√
( x2 − 2 x + 2)dx =

Por lo tantanto el área total es:
A = 24.97298776

2

Cambio de roles de "x" e "y"
A veces es necesario encontrar el área de una región acotada por y = c, y = d, x = f (y) y x = g(y),
donde f (y) ≥ g(y), ∀y ∈ [c, d] (Ver figura).
En forma análoga como se ha hecho hasta ahora, pero intercambiando los roles de x e y, es posible
obtener lafórmula
A=

d

c

[ f (y) − g(y)] dy

Ejemplo 4. Encontrar el área de la región limitada por
x = 4 − y2

y = −x

a) Respecto añ eje x (Dibuje los elementos de áreas correspondientes)
b Respecto al eje y (Dibuje los elementos de áreas correspondientes)
Solución:

Figure 3: .
a) Claramentte se pueden apreciar dos reguiones A1 comprendida en [ x1 , x2 ] y A2 en [ x2 , 4].
Cálculo dex1 y x2 . Si
x = 4 − x2 y y = − x ⇒ x2 + x − 4 = 0
En consecuencia

√
√
−1 + 17
−1 − 17
= −2.561552813 y x2 =
= 1.561552813
x1 =
2
2
3

y por tanto
h1 ( x ) =

√

√

4 − x − (− x ) =

De lo que resulta
A1 =

x2
x1

4−x+x

si

√
√
−1 − 17 −1 + 17
x∈
,
2
2

√
( 4 − x + x )dx = 6.605113854

En forma análoga si
h2 ( x ) =

√

√

√

4 − x − (− 4 − x) = 2 4 − x

Es decir que
A2 =

4
x2

si

√
−1 + 17
x∈
,4
2

√
( 4 − x + x )dx = 5.077018750

En definitiva
A = A1 + A2 = 11.68213260
b)

Figure 4: .
Cálculo de y1 y y2 Si
En consecuencia
y1 =

x = 4 − x2
1−

√
2

17

y

y = − x ⇒ y2 − y − 4 = 0

= −1.561552813 y y2 =
4

1+

√
2

17

= 2.561552813

y por tanto
b(y) = 4 − y2 − (−y) = 4 + y − y2De lo que resulta

y2

A=

y1

si

y∈

1−

√
2

17 1 +
,

√

17

2

(4 + y − y2 )dy = 11.68213260

Nota:
La justificación de esto no se hará, no obstante con las herramientas vistas hasta ahora es posible construir
una prueba para dicho resultado, más aún es posible demostrar el siguiente teorema:

Teorema (Cambio de variable)
Sea f : [ a, b] → R y g : [c, d] → Run función de clase C 1 [c, d] con derivada g (t) y tal que
g([c, d]) ⊂ [ a, b], entonces
b
a

f ( x ) dx =

d
c

f ( g(t)) g (t) dt

Ejemplo 5. Demostrar que el área del círculo con centro C (0, 0) y radio r es πr2 .
Solución:
La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r es
x 2 + y2 = r 2

⇒y=

√

r2 − x2

Figure 5: .
basta entonces demostrar que elárea del semicírculo es
πr2
,
2
5

para ello es suficiente calcular

r

−r

r2 − x2 dx

Hagamos el cambio x = rsenθ ⇒ dx = r cos θdθ. Nótese que si x = −r ⇒ θ = −π/2 y si x = r ⇒ θ = π/2
por lo tanto
r

−r

r2 − x2 dx =

π/2

−π/2

r2 − r2 cos2 θ r cos θ dθ =

π/2

−π/2

r2 cos2 θdθ =

Es decir que
r

−r

r2 − x2 dx =

r2 π
−π
πr2
−(
) =
2 2
2
2...