Integrales Parametrizadas

Lección 5.2
Integral de superficie de un campo vectorial
En esta lección definiremos el concepto de flujo de un campo vectorial.
Imaginemos el siguiente campo vectorial, dado por una ecuaciónF(x). Supongamos además que el campo vectorial representa las velocidades en un fluido (ver Figura 1)

Figura 1
Imaginemos adicionalmente que colocamos una superficie orientada arbitrariamente (verFigura 2) y nos preguntamos por la cantidad de fluido que la atravesaría en un tiempo t.

Figura 2
Está claro que la cantidad depende de la orientación de la superficie; si la superficie estáorientada de forma paralela al campo, ni una sola gota de fluido podría atravesarla. En cambio, si la orientación es perpendicular al flujo, éste será máximo:
| Flujo cero |
| Nivel de flujo intermedio|
| Nivel de flujo máximo por unidad de tiempo |
Sea )S el área de una pequeña porción de S sobre la cual F es prácticamente constante. En tales circunstancias, la cantidad de flujo que atraviesaesa región por unidad de tiempo puede aproximarse por el volumen de la columna F A n (ver Figura 3).

Figura 3
Esto es:
)V = (altura) (área de la base) = (F A n) )S
En consecuencia, el volumendel fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo (lo que se conoce como el flujo de F a través de S) viene dado por la integral de superficie de la siguiente función:
Definición: Laintegral de superficie de un campo vectorial.Sea F un campo vectorial definido sobre S, la imagen de una superficie parametrizada S. La integral de superficie F sobre S es: |
Geométricamente, unaintegral de flujo es la integral de superficie sobre S de la componente normal de F. Si D(x, y, z) es la densidad del fluido en (x, y, z) la integral de flujo:

representa la masa del fluido que atraviesaS por unidad de tiempo.
Ejemplo1.-
Sea S la porción del paraboloide:

situada por encima del plano x y, orientada por un vector normal unitario dirigido hacia arriba (ver Figura 4) para -1 # u #...