Integrales

Tema 6

Integraci´ n de funciones de una variable o

En el cap´tulo anterior nos interesamos en el siguiente problema: dada una funci´ n, hallar su deı o rivada. Sin embargo, muchas aplicaciones importantes del c´ lculo est´ n relacionadas con el problema a a inverso, esto es, dada una funci´ n, calcular una nueva cuya derivada sea la funci´ n inicial. Este proceso o o de c´ lculo llamadointegraci´ n ser´ desarrollado a lo largo de este cap´tulo, el cual es dividido en dos a o a ı partes fundamentales: 1. C´ lculo de primitivas: En esta primera parte nos centraremos en c´ mo resolver el problema de a o c´ lculo anterior. Es decir, dada una funci´ n real de una variable real f : I → R, definida en el a o intervalo I, estudiaremos diferentes m´ todos para conseguir una nueva funci´ n F: I → R que sea e o derivable y cumpla que F (x) = f (x), para todo x ∈ I. En tal caso diremos que F es una primitiva de f . 2. Aplicaciones: En la segunda parte del tema estudiaremos algunas aplicaciones de inter´ s del c´ lcue a ´ ´ lo de primitivas. Hallaremos areas comprendidas entre dos curvas, longitudes de curvas, y area y volumen encerrado por una superficie de rotaci´ n. o

6.1 C´ lculode primitivas. Integral indefinida a
Comenzaremos fijando las ideas del problema que pretendemos resolver: Dada una funci´ n real de variable real f : I → R definida sobre un intervalo I queremos encontrar o una funci´ n derivable F : I → R tal que F (x) = f (x), para todo x ∈ I. o Definici´ n 109 (Primitiva de una funci´ n) o o Una funci´ n F(x) que resuelva el problema anterior ser´ llamada unaprimitiva de f (x). o a Por ejemplo, supongamos que queremos calcular una primitiva de la funci´ n f (x) = 2x. Entonces, o 2 es una primitiva de f (x) ya que de lo aprendido en el tema anterior sabemos que la funci´ n F(x) = x o F (x) = (x2 ) = 2x = f (x). De la misma manera la funci´ n G(x) = x2 + 1 es tambi´ n una primitiva de f (x) ya que o e G (x) = (x2 + 1) = 2x = f (x). Observemos del ejemploanterior que una vez que uno obtiene una primitiva F(x) de la funci´ n f (x) o definida sobre un intervalo I, entonces la nueva funci´ n F(x) +C es tambi´ n una primitiva de f (x), para o e 211

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6.1. C´ lculo de primitivas. Integral indefinida a

cualquier constante C. De hecho, una vez conocida una primitiva de una funci´ n, cualquier otra primitiva o es igual a la anterior salvo unaconstante. Esto lo expresamos en el siguiente resultado: Resultado Sea f : I → R una funci´ n definida en un intervalo I y F : I → R una primitiva suya. Entonces o cualquier otra primitiva de f (x) es de la forma F(x) +C, donde C es una constante real. Utilizaremos el t´ rmino integral indefinida de la funci´ n f (x) al conjunto de todas sus primitivas. A e o dicho conjunto lo denotaremos por f (x) dx.As´, si F(x) es una primitiva de f (x) escribiremos ı f (x) dx = F(x) +C, ya que por el resultado anterior todas las primitivas de f (x) son iguales a F(x) salvo constante C. Por ejemplo, sabemos del c´ lculo b´ sico de derivadas que una primitiva de f (x) = cos x es la funci´ n a a o F(x) = sen x ya que F (x) = (sen x) = cos x = f (x). Por tanto, usaremos la notaci´ n o cos x dx = sen x +C, paraindicar que el conjunto de todas las primitivas de f (x) = cos x viene dado por las funciones de la forma sen x +C. Hemos de observar que el c´ lculo de primitivas aparece de manera natural en muchos problemas a de la F´sica, Qu´mica, Biolog´a, etc´ tera. Un ejemplo elemental de esto ocurre cuando conocemos la ı ı ı e velocidad de un cuerpo m´ vil, v(t), que depende del tiempo y queremos calcularel espacio, s(t), que el o m´ vil ha recorrido. Ya que v(t) = s (t), tenemos que s(t) es una primitiva de v(t). o EJEMPLO Supongamos que la velocidad de un cuerpo m´ vil viene dada en funci´ n del tiempo por la funci´ n o o o v(t) = 2t, donde t es el tiempo medido en segundos y la velocidad est´ medida en metros por segundo. a Si para el tiempo t = 1s conocemos que el m´ vil ha recorrido 3 m,...