INTEGRALES

Integral definida (Semana No. 11)
Edgar Bar´n
o
Luisa Fernanda Mart´
ınez Rojas
Polit´cnico Grancolombiano
e
eabaronp@poligran.edu.co
lfmartinezr@poli.edu.co
Bogot´, 2013
a

Integral definida (Semana No. 11)

Competencias

´
Indice

1. Palabras Claves

1

2. Objetivos Espec´
ıficos de la Unidad

1

3. Competencias

1

4. Integral Definida

2

´
5. Aplicaciones dela integral (Area entre curvas)

3

´
6. Area entre dos curvas

5

7. Ejercicios

8

8. Bibliograf´
ıa

9

Secci´n 1: Palabras Claves
o
´
Antiderivada, reglas b´sicas de integraci´n, integral definida, integral indefinida Teorema Fundamental del c´lculo, Area
a
o
a
bajo la curva.

Secci´n 2: Objetivos Espec´
o
ıficos de la Unidad
1. Adquirir una noci´n de la integralcomo antiderivada de la funci´n.
o
o
2. Reconocer y utilizar las reglas b´sicas de integraci´n
a
o
3. Resolver integrales por el m´todo de sustituci´n o por el m´todo de integraci´n por partes.
e
o
e
o
4. Conocer y manejar los conceptos de integral definida e indefinida
5. Aplicar la integraci´n a la soluci´n de problemas tales como ´rea bajo una curva y ´rea entre curvas y expresar, poro
o
a
a
medio de un ´rea, la integral definida como el l´
a
ımite de una funci´n especial.
o

Secci´n 3: Competencias
o
1. El estudiante estar´ en capacidad de resolver integrales aplicando las reglas b´sicas o el m´todo de sustituci´n o el
a
a
e
o
m´todo de integraci´n por partes, seg´n corresponda.
e
o
u
2. El estudiante estar´ en capacidad de aplicar las integrales encontextos pr´cticos.
a
a

1

Integral definida (Semana No. 11)

Integral Definida

Secci´n 4: Integral Definida
o

Definici´n 4.1. La integral definida de f (x) desde a hasta b, notada por
o

b
a

f (x)dx, se define por

b

f (x)dx = F (b) − F (a)
a

En donde. F (x) es una antiderivada de f (x), a y b son los l´
ımites de integraci´n inferior y superior, respectivamemte,
o
con a El s´
ımbolo

b
a

f (x)dx se lee. ¨
Integral definida de f desde a hasta b”.
b

Observaci´n 4.1. Para representar la diferencia entre F (b) − F (a), utilizamoso el s´
o
ımbolo F (x)|a
3

Ejemplo 1. Calcular 1 4x3 (x4 − 3)2 dx.
Soluci´n
o
Hacemos u = x4 − 3. Derivando a ambos lados, tenemos que du = 4x3 dx. Luego, la integral dada se transforma en
3

4x3 (x4 − 3)2 dx =u2 du =

1

u3
+C
3

4

Reemplazando u = x − 3, tenemos que
3

4x3 (x4 − 3)2 dx =
1

(x4 − 3)3
3

3
1

Aplicamos la definici´n y escribimos
o
3

(x4 − 3)3
4x (x − 3) dx =
3
3

1

4

3

2

1

(34 − 3)3
14 − 3
=
−
3
3
(−2)3
(78)3
−
=
3
3
−8
= 158, 184 −
3
474, 560
=
3
1

Ejemplo 2. Calcular 0 e5x dx.
Soluci´n
o
Hacemos u = 5x. Luego, du= 5dx de donde

du
5

= dx. Luego,

1

e5x dx =
0

eu

du
5

1 u
e
5
1
1
= e5x
5
0
1 (5·1)
1 (5·0)
=
e
−
e
5
5
e5
1 e5 − 1
=
− 0
≈ 29,48263.
5
5
5

=

2

´
Aplicaciones de la integral (Area entre curvas)

Integral definida (Semana No. 11)

´
Secci´n 5: Aplicaciones de la integral (Area entre curvas)
o
´
C´lculo de Areas de regiones acotadaspor curvas. Revisamos ahora la relaci´n entre la integral definida y el ´rea bajo
a
o
a
una curva.
Definici´n 5.1. Teorema Fundamental del C´lculo
o
a
Sea f (x) una funci´n continua, definida en el intervalo [a, b] y F (x) una antiderivada de f (x).
o
El ´rea de la regi´n A, definida por la curva y = f (x), las rectas verticales x = a y x = b, y el eje de las x, est´ dada
a
o
a
por
b

f(x)dx = F (b) − F (a)

A=
a

Gr´ficamente, la situaci´n planteada luce de la siguiente manera, para una funci´n f , definida en el intervalo [-1,1].
a
o
o

Veamos a continuaci´n algunos ejemplos de aplicaci´n
o
o
Ejemplo 3. Determinar el `rea de la regi´n acotada por la curva y = ex definida en el intervalo
a
o
Soluci´n
o

3

1 3
2, 2

y el eje de las x.

´
Aplicaciones...

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